ОГЭ по математике. №25 Треугольники и четырёхугольники. ФИПИ. Задача 15

ОТВЕТ: 3.

Пусть ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, причём \(AD > BC.\) Так как трапеция равнобедренная, то \(AB = CD.\) Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке O. Так как в трапецию можно вписать окружность, то её суммы противоположных сторон равны, то есть \(AB + CD = AD + BC.\) Так как периметр трапеции равен 200, то:

\(AB + CD + AD + BC = 200\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\left( {AB + CD} \right) = 200\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AB + CD = 100.\)

Следовательно, \(AB = CD = \dfrac{{100}}{2} = 50\) и \(AD + BC = 100.\)

Опустим высоты трапеции BN и CM. Воспользуемся формулой площади трапеции:

\({S_{ABCD}} = \dfrac{{AD + BC}}{2} \cdot BN\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1500 = \dfrac{{100}}{2} \cdot BN\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,BN = 30.\)

Рассмотрим треугольники ABN и DCM. В них \(AB = CD,\) \(\angle BAN = \angle CDM\) как углы при основании равнобедренной трапеции, \(\angle BNA = \angle CMD = {90^\circ }.\) Следовательно, прямоугольные треугольники ABN и DCM равны по гипотенузе и острому углу и \(AN = DM\) как соответственные элементы. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABN:

\(A{B^2} = A{N^2} + B{N^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A{N^2} = {50^2}-{30^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A{N^2} = 1600\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AN = 40.\)

Тогда: \(MD = AN = 40.\)

Так как основания трапеции AD и BC параллельны, а BN и CM являются высотами трапеции, то четырёхугольник NBCM является прямоугольником, в котором \(NM = BC.\)

Так как \(AD + BC = 100,\) то:

\(AN + NM + MD + BC = 100\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,40 + BC + 40 + BC = 100\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,BC = 10.\)

Тогда: \(AD = 100-BC = 100-10 = 90.\)

Проведём высоту KH трапеции, проходящую через точку O.

Рассмотрим треугольники BCO и ADO. В них \(\angle BCA = \angle CAD\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC, \(\angle COB = \angle AOD\) как вертикальные. Следовательно, BCO и ADO подобны по двум углам и отношение их соответствующих высот равно коэффициенту подобия, то есть:

\(\dfrac{{OK}}{{OH}} = \dfrac{{BC}}{{AD}} = \dfrac{{10}}{{90}} = \dfrac{1}{9}.\)

Так как высота трапеции \(KH = 30,\) то \(OH = KH-OK = 30-OK.\)

\(\dfrac{{OK}}{{OH}} = \dfrac{1}{9}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{OK}}{{30-OK}} = \dfrac{1}{9}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,9 \cdot OK = 30-OK\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,OK = 3.\)

Так как расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания – длина отрезка OK, то есть 3.

Ответ: 3.