По условию \(AB = 24,\,\,\,CD = 25,\,\,\,BC = 9.\) Обозначим середину AB за точку M. Тогда \(AM = BM.\) Пусть прямые DM и BC пересекаются в точке P. Так как DM является биссектрисой угла ADC, то \(\angle ADM = \angle CDM.\) \(\angle ADP = \angle CPD\) как накрест лежащие при параллельных прямых PC и AD и секущей DP. Следовательно, \(\angle CDP = \angle CPD\) и треугольник PCD является равнобедренным в котором \(PC = CD = 25.\) Тогда \(PB = PC-BC = 25-9 = 16.\)
Рассмотрим треугольники ADM и BPM. \(\angle DAM = \angle PBM\) как накрест лежащие при параллельных прямых PC и AD и секущей AB, \(\angle AMD = \angle BMP\) как вертикальные и \(AM = BM.\) Тогда треугольники ADM и BPM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, \(AD = PB = 16.\)
Таким образом, в трапеции ABCD известны все стороны: \(AB = 24,\,\,\,CD = 25,\) \(BC = 9,\;\,\,\,AD = 16\) и для нахождения площади осталось найти её высоту. Опустим высоты трапеции BH и CK. Четырёхугольник HBCK является прямоугольником. Следовательно, \(HK = BC = 9.\) Пусть \(BH = CK = h,\) \(AH = x.\) Тогда:
\(KD = AD-AH-HK = 16-x-9 = 7-x.\)
Запишем теорему Пифагора для прямоугольных треугольников ABH и DCK:
\(\left\{ \begin{array}{l}A{H^2} + B{H^2} = A{B^2},\\K{D^2} + C{K^2} = C{D^2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {h^2} = {24^2},\\{\left( {7-x} \right)^2} + {h^2} = {25^2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{h^2} = 576-{x^2},\\49-14x + {x^2} + 576-{x^2} = 625\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}h = 24,\\x = 0.\end{array} \right.\)
Так как \(x = 0,\) то точка H совпадает с точкой A и боковая сторона AB является высотой трапеции. Следовательно, высота трапеции равна 24. Тогда:
\({S_{ABCD}} = \dfrac{{AD + BC}}{2} \cdot AB = \dfrac{{16 + 9}}{2} \cdot 24 = 12,5 \cdot 24 = 300.\)
Ответ: 300.