Задача 38. Углы при одном из оснований трапеции равны 39° и 51°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.
ОТВЕТ: 2; 36.
1 способ Следовательно: \(KN = AN-AK = \dfrac{b}{2}-\dfrac{a}{2} = \dfrac{{b-a}}{2};\) \(PN = DN-DP = \dfrac{b}{2}-\dfrac{a}{2} = \dfrac{{b-a}}{2}.\) \(\angle MKP = \angle BAD = {51^\circ }\) как соответственные углы при параллельных прямых AB и MK и секущей AD. \(\angle MPK = \angle CDA = {39^\circ }\) как соответственные углы при параллельных прямых CD и MP и секущей AD. Рассмотрим треугольник KMP. Так как сумма углов треугольника равна \({180^\circ },\) то: \(\angle KMP + \angle MKP + \angle MPK = {180^\circ }\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\angle KMP = {180^\circ }-{51^\circ }-{39^\circ } = {90^\circ }.\) Следовательно, треугольник KMP является прямоугольным. Отрезок MN является медианой в треугольнике KMP проведённой к гипотенузе. Следовательно, \(MN = KN = PN = \dfrac{{b-a}}{2}.\) Отрезок, соединяющий боковые стороны трапеции являются её средней линией, который равен полусумме оснований: \(\dfrac{{AD + BC}}{2} = \dfrac{{b + a}}{2}.\) Очевидно, что \(\dfrac{{b + a}}{2} > \dfrac{{b-a}}{2}.\) По условию задачи отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Тогда: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{b + a}}{2} = 19,\\\dfrac{{b-a}}{2} = 17\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}b + a = 38,\\b-a = 34\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2b = 72,\\a = b-34\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}b = 36,\\a = 2.\end{array} \right.\) Таким образом, основания трапеции равны 2 и 36. Ответ: 2; 36. 2 способ Рассмотрим треугольник APD. Так как сумма углов треугольника равна \({180^\circ },\) то: \(\angle APD + \angle PAD + \angle PDA = {180^\circ }\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\angle APD = {180^\circ }-{51^\circ }-{39^\circ } = {90^\circ }.\) Следовательно, треугольники APD и BPC является прямоугольными. По замечательному свойству трапеции точки P, M и N лежат на одной прямой. Отрезки PM и PN являются медианами в треугольниках BPC и APD проведёнными к гипотенузам. Следовательно, \(PM = BM = CM = \dfrac{a}{2},\) \(PN = AN = DN = \dfrac{b}{2}.\) Тогда отрезок MN, соединяющий середины оснований, равен \(MN = PN-PM = \dfrac{b}{2}-\dfrac{a}{2} = \dfrac{{b-a}}{2}.\) Отрезок KL, соединяющий боковые стороны трапеции являются её средней линией, который равен полусумме оснований: \(KL = \dfrac{{AD + BC}}{2} = \dfrac{{b + a}}{2}.\) Очевидно, что \(\dfrac{{b + a}}{2} > \dfrac{{b-a}}{2}.\) По условию задачи отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Тогда: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{b + a}}{2} = 19,\\\dfrac{{b-a}}{2} = 17\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}b + a = 38,\\b-a = 34\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2b = 72,\\a = b-34\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}b = 36,\\a = 2.\end{array} \right.\) Таким образом, основания трапеции равны 2 и 36. Ответ: 2; 36. 
Пусть в трапеции ABCD с основаниями \(AD = b\) и \(BC = a\) \(\angle BAD = {51^\circ },\) \(\angle CDA = {39^\circ },\) M – середина BC, N – середина AD. Тогда \(BM = CM = \dfrac{a}{2},\) \(AN = DN = \dfrac{b}{2}.\) Проведём через точку M отрезки MK и MP параллельные боковым сторонам трапеции AB и CD соответственно. Тогда четырёхугольники ABMK и DCMP являются параллелограммами, так как их противоположные стороны параллельны, поэтому \(AK = BM = \dfrac{a}{2},\) \(DP = CM = \dfrac{a}{2}.\)
Пусть в трапеции ABCD с основаниями \(AD = b\) и \(BC = a\) \(\angle BAD = {51^\circ },\,\,\,\,\angle CDA = {39^\circ },\) M – середина BC, N – середина AD и продолжения боковых сторон трапеции AB и CD пересекаются в точке P. Тогда \(BM = CM = \dfrac{a}{2},\) \(AN = DN = \dfrac{b}{2}.\)