Так как точки A, B, C и D равноудалены от точки M, то они лежат на окружности с центром в точке M и радиусом AM, то есть \(MA = MB = MC = MD.\)
Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна \({180^\circ }.\) Тогда:
\(\angle A + \angle C = {180^\circ }\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\angle A = {180^\circ }-{95^\circ } = {85^\circ }.\)
Так как в треугольнике ABM равны стороны MA и MB как радиусы, то он является равнобедренным и \(\angle MBA = \angle MAB = {85^\circ }.\) Тогда:
\(\angle CBM = \angle ABC-\angle MBA = {115^\circ }-{85^\circ } = {30^\circ }.\)
Так как в треугольнике MBC равны стороны MB и MC как радиусы, то он является равнобедренным и \(\angle MCB = \angle MBC = {30^\circ }.\)
Проведём высоту MH в треугольнике MBC к основанию BC, которая также будет являться медианой. Тогда \(BH = CH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6.\) По определению косинуса из прямоугольного треугольника MBH:
\(\cos \angle MBH = \dfrac{{BH}}{{BM}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos {30^\circ } = \dfrac{6}{{BM}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{6}{{BM}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,BM = \dfrac{{12}}{{\sqrt 3 }} = 4\sqrt 3 .\)
Тогда: \(MA = MD = MB = 4\sqrt 3 \) и \(AD = AM + MD = 4\sqrt 3 + 4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 .\)
Ответ: \(8\sqrt 3 .\)