Так как точки A, B, C и D равноудалены от точки M, то они лежат на окружности с центром в точке M и радиусом AM, то есть \(MA = MB = MC = MD.\)
Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна \({180^\circ }.\) Тогда:
\(\angle A + \angle C = {180^\circ }\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\angle A = {180^\circ }-{116^\circ } = {64^\circ }.\)
Так как в треугольнике ABM равны стороны MA и MB как радиусы, то он является равнобедренным и \(\angle MBA = \angle MAB = {64^\circ }.\) Тогда:
\(\angle CBM = \angle ABC-\angle MBA = {124^\circ }-{64^\circ } = {60^\circ }.\)
Так как в треугольнике MBC равны стороны MB и MC как радиусы, то он является равнобедренным и \(\angle MCB = \angle MBC = {60^\circ }.\)
Проведём высоту MH в треугольнике MBC к основанию BC, которая также будет являться медианой. Тогда \(BH = CH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3.\) По определению косинуса из прямоугольного треугольника MBH:
\(\cos \angle MBH = \dfrac{{BH}}{{BM}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos {60^\circ } = \dfrac{3}{{BM}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{{BM}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,BM = \dfrac{6}{1} = 6.\)
Тогда: \(MA = MD = MB = 6\) и \(AD = AM + MD = 6 + 6 = 12.\)
Ответ: \(12.\)