Так как точки A, B, C и D равноудалены от точки M, то они лежат на окружности с центром в точке M и радиусом AM, то есть \(MA = MB = MC = MD.\)
Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна \({180^\circ }.\) Тогда:
\(\angle A + \angle C = {180^\circ }\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\angle A = {180^\circ }-{100^\circ } = {80^\circ }.\)
Так как в треугольнике ABM равны стороны MA и MB как радиусы, то он является равнобедренным и \(\angle MBA = \angle MAB = {80^\circ }.\) Тогда:
\(\angle CBM = \angle ABC-\angle MBA = {110^\circ }-{80^\circ } = {30^\circ }.\)
Так как в треугольнике MBC равны стороны MB и MC как радиусы, то он является равнобедренным и \(\angle MCB = \angle MBC = {30^\circ }.\)
Проведём высоту MH в треугольнике MBC к основанию BC, которая также будет являться медианой. Тогда \(BH = CH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{14}}{2} = 7.\) По определению косинуса из прямоугольного треугольника MBH:
\(\cos \angle MBH = \dfrac{{BH}}{{BM}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos {30^\circ } = \dfrac{7}{{BM}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{7}{{BM}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,BM = \dfrac{{14}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{14\sqrt 3 }}{3}.\)
Тогда: \(MA = MD = MB = \dfrac{{14\sqrt 3 }}{3}\) и \(AD = AM + MD = \dfrac{{14\sqrt 3 }}{3} + \dfrac{{14\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{28\sqrt 3 }}{3}.\)
Ответ: \(\dfrac{{28\sqrt 3 }}{3}.\)