ОГЭ по математике. №25 Треугольники и четырёхугольники. ФИПИ. Задача 60math100admin44242026-05-14T21:54:13+03:00
Задача 60. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 12, а расстояние от точки K до стороны AB равно 9.
Решение
Проведём из точки K перпендикуляр к стороне AB. Так как по условию расстояние от точки K до стороны AB равно 9, то \(KH = 9.\) Проведём высоту MN к стороне BC, проходящую через точку K.
Рассмотрим прямоугольные треугольники AHK и ANK. В них \(\angle HAK = \angle NAK,\) так как AK биссектриса угла DAB, AK – их общая гипотенуза. Тогда треугольники AHK и ANK равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, \(KN = KH = 9.\)
Рассмотрим прямоугольные треугольники BHK и BMK. В них \(\angle HBK = \angle MBK,\) так как BK биссектриса угла ABC, BK – их общая гипотенуза. Тогда треугольники BHK и BMK равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, \(KM = KH = 9.\)
Тогда: \(MN = MK + KN = 9 + 9 = 18.\)
Площадь параллелограмма равна произведению стороны параллелограмма на высоту, проведённую к этой стороне:
\({S_{ABCD}} = BC \cdot MN = 12 \cdot 18 = 216.\)
Ответ: 216.