Задача 9. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.
Ответ
ОТВЕТ: \(2\sqrt {13} ;\,\,\,\,\,4\sqrt {13} ;\,\,\,\,\,6\sqrt 5 \,\).
Решение
Пусть биссектриса BE и медиана AD пересекаются в точке О. Треугольник ABD равнобедренный, так как его биссектриса BO является высотой. Значит, \(AB = BD = DC\) и \(AO = OD = \dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{8}{2} = 4.\)
Отложим на продолжении медианы AD за точку D отрезок DM = AD = 8. Тогда четырёхугольник ABMC – параллелограмм, так как его диагонали AM и BC точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(\angle CAM = \angle BMA\) как накрест лежащие. Следовательно, треугольники AOE и BOM подобны по двум углам (\(\angle EAO = \angle BMO,\,\,\,\,\,\angle EOA = \angle BOM\)). Поэтому \(\dfrac{{AE}}{{BM}} = \dfrac{{OE}}{{BO}} = \dfrac{{AO}}{{OM}} = \dfrac{4}{{12}} = \dfrac{1}{3}.\) Значит \(OE = \dfrac{{BE}}{4} = \dfrac{8}{4} = 2\), а BO = 6. Тогда по теореме Пифагора из треугольника AOE:
\(A{E^2} = A{O^2} + O{E^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{E^2} = {4^2} + {2^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AE = 2\sqrt 5 .\)
Следовательно, \(AC = BM = 3AE = 6\sqrt 5 .\) По теореме Пифагора из треугольника AOB:
\(A{B^2} = B{O^2} + A{O^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{B^2} = {6^2} + {4^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,AB = 2\sqrt {13} .\) Тогда: \(BC = 2AB = 4\sqrt {13} .\)
Ответ: \(2\sqrt {13} ;\,\,\,\,\,4\sqrt {13} ;\,\,\,\,\,6\sqrt 5 \,\).