Пусть O и Q – центры меньшей и большей окружностей соответственно, а прямые AC и BD пересекаются в точке P. Отрезки PA и PB равны как касательные к меньшей окружности, проходящей через одну точку, а отрезки PC и PD равны как касательные к большей окружности, проходящей через одну точку. Следовательно, треугольники PAB и PCD равнобедренные, с основаниями AB и CD. Так как окружности вписаны в угол CPD, то их центры O и Q лежат на биссектрисе этого угла. Следовательно, \(PQ \bot AB\) и \(PQ \bot CD,\) а \(AB\parallel CD.\)
Пусть M – точка касания заданных окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точки P, O, M и Q лежат на одной прямой. Пусть прямая PQ пересекает прямую CD в точке K, а прямую AB в точке N. Следовательно, требуется найти KN.
Так как радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной, то \(OA \bot AC,\) \(OB \bot BD,\) \(QC \bot AC,\) \(QD \bot BD.\)
Проведём перпендикуляр OH к радиусу QD. Четырёхугольник OBDH является прямоугольником. Тогда \(HD = OB = 22\) и \(QH = QD-HD = 99-22 = 77.\) Отрезок OQ равен сумме радиусов заданных окружностей: \(OQ = OM + MQ = 22 + 99 = 121.\)
Так как \(QD \bot BD\) и \(OB \bot BD,\) то \(QD\parallel OB.\) Тогда \(\angle DQK = \angle BON = {\rm{\alpha }}\) как соответственные углы при параллельных прямых QD и OB и секущей QP.
Из прямоугольного треугольника QOH:
\(\cos {\rm{\alpha }} = \dfrac{{QH}}{{OQ}} = \dfrac{{77}}{{121}} = \dfrac{7}{{11}}.\)
Из прямоугольного треугольника QKD:
\(\cos {\rm{\alpha }} = \dfrac{{KQ}}{{QD}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{7}{{11}} = \dfrac{{KQ}}{{99}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,KQ = 63.\)
Из прямоугольного треугольника ONB:
\(\cos {\rm{\alpha }} = \dfrac{{ON}}{{OB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{7}{{11}} = \dfrac{{ON}}{{22}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,ON = 14.\)
Тогда:
\(KN = OQ + ON-KQ = 121 + 14-63 = 72.\)
Ответ: 72.