1 способ
Проведём отрезок \(EH \bot CD.\) Следовательно, EH – искомое расстояние. Пусть продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке O. Прямоугольные треугольники OBC, OHE и OAD подобны, так как имеют общий \(\angle O.\)
Из подобия треугольников OBC и OHE следует, что:
\(\dfrac{{BC}}{{EH}} = \dfrac{{OC}}{{OE}}\,\,\,\,\,(1).\)
Из подобия треугольников OAD и OHE следует, что:
\(\dfrac{{AD}}{{EH}} = \dfrac{{OD}}{{OE}}\,\,\,\,\,(2).\)
Перемножим равенства (1) и (2):
\(\dfrac{{BC \cdot AD}}{{E{H^2}}} = \dfrac{{OC \cdot OD}}{{O{E^2}}}\,\,\,\,\,\,\,(3).\)
По теореме о секущей OD и касательной OE: \(OC \cdot OD = O{E^2}.\)
Тогда равенство (3) примет вид:
\(\dfrac{{BC \cdot AD}}{{E{H^2}}} = \dfrac{{O{E^2}}}{{O{E^2}}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{BC \cdot AD}}{{E{H^2}}} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,E{H^2} = 8 \cdot 4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,EH = 4\sqrt 2 .\)
Ответ: \(4\sqrt 2 .\)
2 способ
Проведём отрезок \(EH \bot CD.\) Следовательно, EH – искомое расстояние. Проведём отрезки EC и ED.
\(\angle EDC\) – вписан в окружность и опирается на дугу EC, а \(\angle BEC\)-угол между касательной BE и хордой CE. Следовательно, по теореме об угле между касательной и хордой Тогда прямоугольные треугольники BEC и HDE подобны по двум углам. Из подобия этих треугольников следует, что:
\(\dfrac{{BC}}{{EH}} = \dfrac{{EC}}{{ED}}\,\,\,\,\,\,\,(1).\)
\(\angle ECD\)-вписан в окружность и опирается на дугу ED, а \(\angle AED\)-угол между касательной AE и хордой DE. Следовательно, по теореме об угле между касательной и хордой \(\angle ECD = \angle AED.\) Тогда прямоугольные треугольники HCE и AED подобны по двум углам. Из подобия этих треугольников следует, что:
\(\dfrac{{EH}}{{AD}} = \dfrac{{EC}}{{ED}}\,\,\,\,\,\,\,(2).\)
Из равенств (1) и (2) следует, что:
\(\dfrac{{BC}}{{EH}} = \dfrac{{EH}}{{AD}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,E{H^2} = BC \cdot AD\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,E{H^2} = 4 \cdot 8\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,EH = 4\sqrt 2 .\)
Ответ: \(4\sqrt 2 .\)