Задача 11. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
ОТВЕТ: 11.
Уравнение прямой \(y = kx + b.\)
Первая прямая проходит через точки \(\left( { — 3;5} \right)\) и \(\left( { — 4;1} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 = — 3k + b}\\{1 = — 4k + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(4 = k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = 4\)
Тогда: \(5 = — 3 \cdot 4 + b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b = 17\) и уравнение первой прямой имеет вид: \(y = 4x + 17.\)
Вторая прямая проходит через точки \(\left( {2;4} \right)\) и \(\left( {3;2} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 = 2k + b}\\{2 = 3k + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(2 = — k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = — 2.\)
Тогда: \(4 = 2 \cdot \left( { — 2} \right) + b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b = 8\) и уравнение второй прямой имеет вид: \(y = — 2x + 8.\)
Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 4x + 17}\\{y = — 2x + 8}\end{array}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,4x + 17 = — 2x + 8\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,6x = — 9\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\,\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = — 1,5\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,y = — 4 \cdot 1,5 + 17 = 11.\)
Следовательно, ордината точки пересечения \(y = 11\).
Ответ: 11.