Задача 29. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = \frac{k}{x}\) и \(g\left( x \right) = a\,x + b\,,\) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
ОТВЕТ: 15.
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x}\) проходит через точку \(\left( { — 3; — 1} \right)\). Следовательно: \( — 1 = \frac{k}{{ — 3}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = 3.\)
Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: \(f\left( x \right) = \frac{3}{x}.\)
График прямой \(g\left( x \right) = ax + b\) проходит через точки \(\left( { — 3; — 1} \right)\) и \(\left( { — 2;4} \right)\).
Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = — 3a + b}\\{4 = — 2a + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 5 = — a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a = 5.\)
Тогда: \( — 1 = — 15 + b\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,b = 14.\)
Таким образом, уравнение прямой имеет вид: \(g\left( x \right) = 5x + 14.\)
Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 5x + 14}\\{y = \frac{3}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,5x + 14 = \frac{3}{x}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,5{x^2} + 14x — 3 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = — 3,\,\,\,{x_2} = \frac{1}{5},\,\,\,{y_1} = — 1,\,\,\,\,{y_2} = 15.\)
Следовательно, \(A\left( { — 3; — 1} \right)\) и \(B\left( {\frac{1}{5};15} \right)\). Таким образом, ордината точки В равна 15.
Ответ: 15.