Задача 38. Найдите наибольшее значение функции   \(y = 3x — 2{x^{\frac{3}{2}}}\)    на отрезке \(\left[ {0;\;4} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\,\infty } \right).\)

Найдём производную заданной функции:     \(y’ = 3 — 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = 3 — 3\sqrt x .\)

Найдём нули производной:

\(3 — 3\sqrt x  = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x  = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x = 1.\)

Наибольшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ {0;4} \right]\), то есть в точках  \(x = 0,\,\,\,\,x = 4\) или \(x = 1\):

\(y\left( 0 \right) = 3 \cdot 0 — 2 \cdot {0^{\frac{3}{2}}} = 0;\)

\(y\left( 4 \right) = 3 \cdot 4 — 2 \cdot {4^{\frac{3}{2}}} = 12 — 2 \cdot {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} = 12 — 2 \cdot {2^3} =  — 4;\)

\(y\left( 1 \right) = 3 \cdot 1 — 2 \cdot {1^{\frac{3}{2}}} = 3 — 2 = 1.\)

Следовательно, наибольшее значение функции равно  1.

Ответ:  1.