Задача 38. Найдите наибольшее значение функции \(y = 3x — 2{x^{\frac{3}{2}}}\) на отрезке \(\left[ {0;\;4} \right]\)
ОТВЕТ: 1.
Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\,\infty } \right).\) Найдём производную заданной функции: \(y’ = 3 — 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = 3 — 3\sqrt x .\) Найдём нули производной: \(3 — 3\sqrt x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x = 1.\) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {0;4} \right]\), то есть в точках \(x = 0,\,\,\,\,x = 4\) или \(x = 1\): \(y\left( 0 \right) = 3 \cdot 0 — 2 \cdot {0^{\frac{3}{2}}} = 0;\) \(y\left( 4 \right) = 3 \cdot 4 — 2 \cdot {4^{\frac{3}{2}}} = 12 — 2 \cdot {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} = 12 — 2 \cdot {2^3} = — 4;\) \(y\left( 1 \right) = 3 \cdot 1 — 2 \cdot {1^{\frac{3}{2}}} = 3 — 2 = 1.\) Следовательно, наибольшее значение функции равно 1. Ответ: 1.