Задача 51. Найдите наименьшее значение функции \(y = \frac{{{x^2} + 25}}{x}\) на отрезке \(\left[ {1;\;12} \right]\)
ОТВЕТ: 10.
Область определения функции: \(x \in \,\,\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\) Найдём производную заданной функции: \(y’ = \,\frac{{{{\left( {{x^2} + 25} \right)}^\prime } \cdot x — \left( {{x^2} + 25} \right) \cdot x’}}{{{x^2}}} = \frac{{2x \cdot x — \left( {{x^2} + 25} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} — {x^2} — 25}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} — 25}}{{{x^2}}}.\) Найдём нули производной: \({x^2} — 25 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = — 5,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 5.\) Значение \({x_1} = — 5 \notin \left[ {1;12} \right].\) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;12} \right]\), то есть в точках \(x = 1,\,\,\,\,x = 12\) или \(x = 5\): \(y\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} + 25}}{1} = 26;\) \(y\left( {12} \right) = \frac{{{{12}^2} + 25}}{{12}} = 12 + \frac{{25}}{{12}} = 14\frac{1}{{12}};\) \(y\left( 5 \right) = \frac{{{5^2} + 25}}{5} = 10.\) Следовательно, наименьшее значение функции равно 10. Ответ: 10.