22В. а) Решите уравнение \(\frac{{26{{\cos }^2}x — 23\cos x + 5}}{{13\sin \,x — 12}} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\,2\pi } \right].\)
ОТВЕТ: а) \( \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\,\; — \arccos \frac{5}{{13}} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{\pi }{3};\;\;\;2\pi — {\rm{arccos}}\,\frac{5}{{13}};\;\;\;\frac{{5\pi }}{3}.\)
а) \(\frac{{26{{\cos }^2}x — 23\cos x + 5}}{{13\sin \,x — 12}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{26{{\cos }^2}x — 23\cos x + 5 = 0,}\\{13\sin \,x — 12 \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(26{\cos ^2}x — 23\cos x + 5 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Уравнение примет вид: \(26{t^2} — 23t + 5 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{2},\;}\\{{t} = \frac{5}{{13}}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \frac{1}{2},\,\,}\\{\cos x = \frac{5}{{13}},}\end{array}} \right.}\\{\sin \,x \ne \frac{{12}}{{13}}.\,\;}\end{array}} \right.\) Из совокупности \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \frac{1}{2},}\\{\cos x = \frac{5}{{13}}}\end{array}} \right.\) получаем \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pm \arccos \,\frac{5}{{13}} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\;\;\;k \in Z.\) Если \(\cos x = \frac{5}{{13}},\) то \(\sin x = \pm \sqrt {1 — {{\cos }^2}x} = \pm \sqrt {1 — {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}} = \pm \frac{{12}}{{13}}.\) В этом случае с учетом условия \(\sin \,x \ne \frac{{12}}{{13}}\) системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения \(\cos x = \frac{5}{{13}},\) нужно оставить только ту, для которой \(\sin \,x = — \frac{{12}}{{13}}.\) Это точка в четвертой четверти, и решение уравнения имеет вид \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \arccos \,\frac{5}{{13}} + 2\pi k,}\\{x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\,2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \(x = — \arccos \,\frac{5}{{13}} + 2\pi ;\;\;\;x = \frac{\pi }{3};\;\;\;x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\,\; — \arccos \frac{5}{{13}} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{\pi }{3};\;\;\;2\pi — {\rm{arccos}}\,\frac{5}{{13}};\;\;\;\frac{{5\pi }}{3}.\)