Объём призмы равен \(V = S \cdot h,\) где S – площадь основания, а h – высота. Пусть A1H – высота призмы. Тогда \(\angle {A_1}AH = {30^ \circ }.\) По условию \(A{A_1} = 2\sqrt 3 .\) По определению синуса из треугольника AA1H:
\(\sin \angle {A_1}AH = \frac{{{A_1}H}}{{A{A_1}}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sin {30^ \circ } = \frac{{{A_1}H}}{{2\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{A_1}H = \sqrt 3 .\)
Диагонали шестиугольника AD, BE и CF разбивают его на 6 равных равносторонних треугольников со стороной равной 2.
\({S_{AOB}} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot AB \cdot \sin {60^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 .\)
Тогда площадь основания: \(S = 6 \cdot {S_{AOB}} = 6\sqrt 3 .\) Значит: \(V = 6\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 = 18.\)
Ответ: 18.