Задача 15. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(2 + \sqrt 2 \). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
ОТВЕТ: 1.
Первый вариант решения: По теореме Пифагора из треугольника АВС: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,A{B^2} = 2 \cdot A{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AB = AC\sqrt 2 = \sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 + 2.\) Радиус окружности, вписанной в прямоугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: \(r = \frac{{AC + BC-AB}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2 + 2 + \sqrt 2 -2\sqrt 2 -2}}{2} = 1.\) Ответ: 1. Второй вариант решения: \(AB = AC \cdot \sqrt 2 = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)\sqrt 2 = 2\sqrt 2 + 2.\) Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r.\) \(p = \frac{{AC + BC + AB}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2 + 2 + \sqrt 2 + 2\sqrt 2 + 2}}{2} = 2\sqrt 2 + 3.\) С другой стороны площадь треугольника равна половине произведения его катетов: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{2} = \frac{{4 + 4\sqrt 2 + 2}}{2} = 2\sqrt 2 + 3.\) Следовательно: \(\left( {2\sqrt 2 + 3} \right) \cdot r = 2\sqrt 2 + 3\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,r = 1.\) Ответ: 1.