52В. Решите неравенство \(\log _2^2\left( {4 + 3x-{x^2}} \right) + 6{\log _{0,5}}\left( {4 + 3x-{x^2}} \right) < -8\).
ОТВЕТ: \(\left( {0;\;3} \right).\)
\(\log _2^2\left( {4 + 3x-{x^2}} \right) + 6{\log _{0,5}}\left( {4 + 3x-{x^2}} \right) < -8.\) Найдём ОДЗ: \(4 + 3x-{x^2} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-3x-4 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 1} \right)\left( {x-4} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x \in \left( {-1;4} \right).\) \(\log _2^2\left( {4 + 3x-{x^2}} \right) + 6{\log _{0,5}}\left( {4 + 3x-{x^2}} \right) < -8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _2^2\left( {4 + 3x-{x^2}} \right)-6{\log _2}\left( {4 + 3x-{x^2}} \right) + 8 < 0.\) Пусть \({\log _2}\left( {4 + 3x-{x^2}} \right) = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-6t + 8 < 0.\) \({t^2}-6t + 8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,}\\{{t} = 4.}\end{array}} \right.\) \({t^2}-6t + 8 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left( {t-2} \right)\left( {t-4} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 < t < 4.\) Вернёмся к прежней переменной: \(2 < {\log _2}\left( {4 + 3x-{x^2}} \right) < 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}4 < {\log _2}\left( {4 + 3x-{x^2}} \right) < {\log _2}16\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;4 < 4 + 3x-{x^2} < 16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 + 3x-{x^2} > 4,\;}\\{4 + 3x-{x^2} < 16}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x-{x^2} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{-12 + 3x-{x^2} < 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.} \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-3x < 0,\;\;\;\;\,\,\;}\\{{x^2}-3x + 12 > 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x-3} \right) < 0,\;\;\;\;\,\,\;}\\{{x^2}-3x + 12 > 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {0;3} \right),}\\{x \in R\;\;\;\;\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.} \right.\;\;\;\;x \in \left( {0;3} \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;3} \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;3} \right).\)