13В. а) Решите уравнение \(4 \cdot {25^x}-9 \cdot {20^x} + 5 \cdot {16^x} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {{\log_{\frac{1}{5}}}\frac{1}{4};{\log_{\frac{1}{5}}}\frac{1}{7}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(0;\;\;\;1;\) б) \(1.\)
а) \(4 \cdot {25^x}-9 \cdot {20^x} + 5 \cdot {16^x} = 0\left| : \right.{16^x} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4 \cdot {\left( {\frac{{25}}{{16}}} \right)^x}-9 \cdot {\left( {\frac{{20}}{{16}}} \right)^x} + 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4 \cdot {\left( {\frac{5}{4}} \right)^{2x}}-9 \cdot {\left( {\frac{5}{4}} \right)^x} + 5 = 0.\) Пусть \({\left( {\frac{5}{4}} \right)^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(4{t^2}-9t + 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\,}\\{{t} = \frac{5}{4}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^x} = 1,}\\{{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^x} = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^x} = {{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^0},}\\{{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^x} = {{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^1}\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,}\\{x = 1.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{\log_{\frac{1}{5}}}\frac{1}{4};{\log_{\frac{1}{5}}}\frac{1}{7}} \right].\) Так как \(0 = {\log _5}1 < {\log_5}4 ={ \log_{\frac{1}{5}}}\frac{1}{4},\) то \(x = 0\,\,\, \notin \,\left[ {{\log_{\frac{1}{5}}}\frac{1}{4};{\log_{\frac{1}{5}}}\frac{1}{7}} \right].\) Так как \({\log_{\frac{1}{5}}}\frac{1}{4} = {\log _5}4 < {\log _5}5 = 1 < {\log _5}7 = {\log_{\frac{1}{5}}}\frac{1}{7},\) то \(x = 1\,\,\, \in \,\,\left[ {{\log_{\frac{1}{5}}}\frac{1}{4};{\log_{\frac{1}{5}}}\frac{1}{7}} \right].\) Ответ: а) \(0;\;\;\;1;\) б) \(1.\)