Профиль №13. Показательные уравнения. Задача 21Вmath100admin44242023-10-27T18:50:53+03:00
21В. а) Решите уравнение \({2^{2\left| x \right|}}-3 \cdot {2^{\left| x \right|}}-4 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt[3]{7};\sqrt[3]{9}} \right]\).
Ответ
ОТВЕТ: а) \( \pm 2;\)
б) \(2.\)
Решение
а) \({2^{2\left| x \right|}}-3 \cdot {2^{\left| x \right|}}-4 = 0.\)
Пусть \({2^{\left| x \right|}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид:
\({t^2}-3t-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 4,\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{{t} = -1 < 0.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\({2^{\left| x \right|}} = 4\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{2^{\left| x \right|}} = {2^2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left| x \right| = 2\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,}\\{x = 2.\;\;}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt[3]{7};\sqrt[3]{9}} \right].\)
Так как \(-2 = \sqrt[3]{{-8}} < \sqrt[3]{{-7}},\) то \(x = -2 \notin \left[ {-\sqrt[3]{7};\sqrt[3]{9}} \right].\)
Так как \(-\sqrt[3]{7} < 2 = \sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{9},\) то \(x = 2 \in \left[ {-\sqrt[3]{7};\sqrt[3]{9}} \right].\)
Ответ: а) \( \pm 2;\)
б) \(2.\)