25В. а) Решите уравнение \({5^{3{x^2} + 3x-4}}-6 \cdot {25^{{x^2} + x-1}} + {5^{{x^2} + x + 1}} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;3} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-2;\;\;\;1;\;\,\;\;\frac{{-1 \pm \sqrt {13} }}{2};\) б) \(1;\;\;\;\frac{{-1 + \sqrt {13} }}{2}.\)
а) \({5^{3{x^2} + 3x-4}}-6 \cdot {25^{{x^2} + x-1}} + {5^{{x^2} + x + 1}} = 0\left| {:{5^{{x^2} + x + 1}}} \right. > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{5^{3{x^2} + 3x-4}}}}{{{5^{{x^2} + x + 1}}}}-6 \cdot \frac{{{5^{2{x^2} + 2x-2}}}}{{{5^{{x^2} + x + 1}}}} + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{2{x^2} + 2x-5}}-6 \cdot {5^{{x^2} + x-3}} + 1 = 0\,\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;5 \cdot {5^{2{x^2} + 2x-6}}-6 \cdot {5^{{x^2} + x-3}} + 1 = 0.\) Пусть \({5^{{x^2} + x-3}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(5{t^2}-6t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;}\\{{t} = \frac{1}{5}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{{x^2} + x-3}} = 1,}\\{{5^{{x^2} + x-3}} = \frac{1}{5}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{{x^2} + x-3}} = {5^0},}\\{{5^{{x^2} + x-3}} = {5^{-1}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x-3 = 0,}\\{{x^2} + x-2 = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{-1-\sqrt {13} }}{2},}\\{x = \frac{{-1 + \sqrt {13} }}{2},}\\{x = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = -2.\,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;3} \right].\) Так как \(-1-\sqrt {13} < 0,\) то \(\frac{{-1-\sqrt {13} }}{2} < 0.\) Поэтому, \(x = \frac{{-1-\sqrt {13} }}{2} \notin \left[ {0;3} \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 < \sqrt {13} < \sqrt {16} = 4,\) то \(2 < -1 + \sqrt {13} < 3,\) значит, \(1 < \frac{{-1 + \sqrt {13} }}{2} < \frac{3}{2}.\) Поэтому, \(x = \frac{{-1 + \sqrt {13} }}{2} \in \left[ {0;3} \right].\) \(x = 1 \in \left[ {0;3} \right];\) \(x = -2 \notin \left[ {0;3} \right].\) Ответ: а) \(-2;\;\;\;1;\;\,\;\;\frac{{-1 \pm \sqrt {13} }}{2};\) б) \(1;\;\;\;\frac{{-1 + \sqrt {13} }}{2}.\)