Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Основные тригонометрические формулы

Задача 1. Упростите выражение    \(\frac{{1 — {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Задача 2. Упростите выражение    \(\frac{{{{\cos }^2}x — 1}}{{{{\sin }^2}x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.
Задача 3. Упростите выражение    \(\frac{{1 — {{\sin }^2}x + 2{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.
Задача 4. Упростите выражение    \(\frac{{1 — {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x + 1 — {{\sin }^2}x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 5. Упростите выражение    \(\frac{{\left( {1 — \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}}{4} \cdot \left( {1 + {\text{t}}{{\text{g}}^2}x} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.
Задача 6. Упростите выражение    \(\frac{{{{\sin }^4}x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 — \cos x} \right)}} \cdot \frac{{\left( {1 + {\text{ct}}{{\text{g}}^2}x} \right)}}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 7. Упростите выражение    \(\frac{{3 + 6\sin x\cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.
Задача 8. Упростите выражение    \(\frac{{{{\left( {\cos x — \sin x} \right)}^2}}}{{8\sin x\cos x — 4}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,25.
Задача 9. Упростите выражение    \(\frac{{{{\sin }^4}x — {{\cos }^4}x + 2{{\cos }^2}x}}{{2{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^4}x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 10. Упростите выражение    \(\frac{{4{{\sin }^4}x — 4{{\cos }^4}x}}{{\left( {\cos x — \sin x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -4.
Задача 11. Упростите выражение    \(2\cos x\left( {{\text{tg}}\,x — \frac{{\sin x — 1}}{{\cos x}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 12. Упростите выражение    \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x — \left( {{{\cos }^{ — 2}}x — 1} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.
Задача 13. Упростите выражение    \(\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 — \cos x}} + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 14. Упростите выражение    \(\frac{{{{\cos }^2}x}}{{\sin x — 1}} — \frac{{{{\cos }^2}x}}{{\sin x + 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -2.
Задача 15. Упростите выражение    \(\frac{{3\left( {\cos x + {\text{ctg}}\,x} \right)}}{{\left( {1 + \sin x} \right)\,{\text{ctg}}\,x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.
Задача 16. Упростите выражение    \(\frac{{ — 2\left( {\sin x + {\text{tg}}\,x} \right)}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\,{\text{tg}}\,x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -2.
Задача 17. Упростите выражение    \(\frac{{1 — {{\cos }^4}x — {{\sin }^4}x}}{{{{\left( {{{\sin }^2}x — {{\cos }^2}x} \right)}^2}\, — {{\sin }^4}x — {{\cos }^4}x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.
Задача 18. Упростите выражение    \(\frac{{1 — {{\sin }^4}x — {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}{{\left( {1 + \sin x} \right)\,\left( {1 — \sin x} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Задача 19. Упростите выражение    \(\frac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{2\left( {1 — \sin x\cos x} \right)\,\left( {\cos x + \sin x} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 20. Упростите выражение    \(\frac{{\left( {\sin x — \cos x} \right)\left( {1 + \sin x\cos x} \right)}}{{4\,\left( {{{\cos }^3}x — {{\sin }^3}x} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,25.
Задача 21. Найдите   \(\sin \alpha \),  если   \(\cos \alpha  = 0,6\)   и   \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,8.
Задача 22. Найдите   \(\sin \alpha \),  если  \(\cos \alpha  = 0,6\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,8.
Задача 23. Найдите   \(\cos \alpha \),  если  \(\sin \alpha  =  — \frac{{24}}{{25}}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,28.
Задача 24. Найдите   \(\cos \alpha \),  если  \(\sin \alpha  = \frac{{24}}{{25}}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,28.
Задача 25. Найдите   \({\text{ctg}}\,\alpha \),  если  \(\cos \alpha  = 0,6\)   и   \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,75.
Задача 26. Найдите   \({\text{tg}}\,\alpha \),  если  \(\cos \alpha  =  — 0,8\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\,\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,75.
Задача 27. Найдите   \({\text{24}}\,{\text{ctg}}\,\alpha \),  если  \(\sin \alpha  = \frac{{24}}{{25}}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -7.
Задача 28. Найдите   \(3\,{\text{tg}}\,\alpha \),  если  \(\sin \alpha  =  — \frac{5}{{13}}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\pi ;\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 1,25.
Задача 29. Найдите   \(26\,\cos \,\alpha \),  если  \({\text{tg}}\,\alpha  =  — \frac{{12}}{5}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};\,2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 10.
Задача 30. Найдите   \(169\,\sin \,\alpha \),  если  \({\text{tg}}\,\alpha  = \frac{{12}}{5}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\pi ;\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -156.
Задача 31. Найдите   \(\sin \,\alpha \),  если  \({\text{ctg}}\,\alpha  =  — \frac{4}{3}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};\,2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,6.
Задача 32. Найдите   \(39\,\cos \,\alpha \),  если  \({\text{ctg}}\,\alpha  = \frac{{12}}{5}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\pi ;\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -36.
Задача 33. Найдите   \({\text{ctg}}\,\alpha \),  если  \({\text{tg}}\,\alpha  = \frac{4}{5}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\pi ;\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 1,25.
Задача 34. Найдите   \({\text{tg}}\,\alpha \),  если  \({\text{ctg}}\,\alpha  =  — \frac{5}{7}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};\,\,2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -1,4.
Задача 35. Найдите   \({\text{tg}}\,\alpha \),  если  \(\cos \alpha  = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};\;2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -3.
Задача 36. Найдите    \({\text{tg}}\,\alpha \),    если \(\sin \alpha  =  — \frac{5}{{\sqrt {26} }}\)     и    \(\alpha  \in \left( {\pi ;\;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 5.
Задача 37. Найдите   \(6\cos \alpha \),   если   \(\sin \alpha  =  — \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};\;2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 38. Найдите   \(14\sin \alpha \),   если   \(\cos \alpha  = \frac{{3\sqrt 5 }}{7}\)   и   \(\alpha  \in \left( {1,5\pi ;\;2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -4.
Задача 39. Найдите   \({\text{t}}{{\text{g}}^2}\alpha \),   если   \(6{\sin ^2}\alpha  — 3{\cos ^2}\alpha  = 5\)

Ответ

ОТВЕТ: 8.
Задача 40. Найдите   \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}\alpha \),   если   \(6{\sin ^2}\alpha  + 3{\cos ^2}\alpha  = 5\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 41. Найдите   \(\frac{{6\cos \alpha  — 3\sin \alpha }}{{5\sin \alpha  — 5\cos \alpha }}\),   если   \({\text{tg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,{\text{3}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,3.
Задача 42. Найдите   \(\frac{{7\cos \alpha  — 6\sin \alpha }}{{3\sin \alpha  — 4\cos \alpha }}\),   если   \({\text{ctg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,2\)

Ответ

ОТВЕТ: -1,6.
Задача 43. Найдите   \(\frac{{8\cos \alpha  — 2\sin \alpha  + 10}}{{\sin \alpha  — 4\cos \alpha  + 5}}\),   если   \({\text{tg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,\,4\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 44. Найдите   \(\frac{{6\cos \alpha  — 18\sin \alpha  — 12}}{{3\sin \alpha  — \cos \alpha  + 8}}\),   если   \({\text{ctg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,\,3\)

Ответ

ОТВЕТ: -1,5.
Задача 45. Найдите   \({\text{tg}}\,\alpha \),   если   \(\frac{{6\sin \alpha  — 2\cos \alpha }}{{3\cos \alpha  — 4\sin \alpha }} =  — 2\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 46. Найдите   \({\text{ctg}}\,\alpha \),   если   \(\frac{{2\sin \alpha  — 4\cos \alpha }}{{8\cos \alpha  + \sin \alpha }} =  — \frac{1}{3}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1,75.
Задача 47. Найдите   \({\text{tg}}\,\alpha \),   если   \(\frac{{4\sin \alpha  + 5\cos \alpha  + 4}}{{2\sin \alpha  — 3\cos \alpha  — 8}} =  — \frac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,7.
Задача 48. Найдите   \({\text{ctg}}\,\alpha \),   если   \(\frac{{3\sin \alpha  — 2\cos \alpha  — 2}}{{5\sin \alpha  — 2\cos \alpha  + 8}} =  — \frac{1}{4}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1,7.
Задача 49. Найдите   \(\frac{{{{\sin }^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha  + 3{{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha  — 3{{\cos }^2}\alpha }}\),   если   \({\text{tg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,4\)

Ответ

ОТВЕТ: 27.
Задача 50. Найдите   \(\frac{{6 — 9\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha  — 2}}\),   если   \({\text{ctg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,\frac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: -2.
Задача 51. Найдите   \(\frac{{4\sin \alpha \cos \alpha  + {{\cos }^2}\alpha  — 3{{\sin }^2}\alpha }}{{2{{\sin }^2}\alpha  — \sin \alpha \cos \alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}\),   если   \({\text{ctg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,2\)

Ответ

ОТВЕТ: 2,25.
Задача 52. Найдите   \(\frac{{3 + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{1 — 2\sin \alpha \cos \alpha }}\),   если   \({\text{tg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,2\)

Ответ

ОТВЕТ: 23.
Задача 53. Найдите   \(27\left( {{{\sin }^3}\alpha  — {{\cos }^3}\alpha } \right)\),   если   \(\sin \alpha  — \cos \alpha  = \frac{1}{3}\)

Ответ

ОТВЕТ: 13.
Задача 54. Найдите    \(16\left( {{{\sin }^4}\alpha  + {{\cos }^4}\alpha } \right)\),   если   \(\sin \alpha  — \cos \alpha  = 0,5\)

Ответ

ОТВЕТ: 11,5.
Задача 55. Найдите    \({\text{t}}{{\text{g}}^2}\alpha  + {\text{ct}}{{\text{g}}^2}\alpha \),   если   \({\text{tg}}\,\alpha  — {\text{ctg}}\,\alpha  = 3\)

Ответ

ОТВЕТ: 11.
Задача 56. Найдите    \(\sqrt 6 \,{\text{tg}}\,\alpha \),   если   \(15{\cos ^2}\alpha  — 2\cos \alpha  — 1 = 0\)   и   \( — \pi  < \alpha  <  — \frac{\pi }{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: 12.