Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Формулы двойного и половинного аргумента

Задача 1. Вычислите    \({\text{10}}\,{\text{sin}}\,{15^ \circ }\,\cos {15^ \circ }\)

Ответ

ОТВЕТ: 2,5.

Задача 2. Вычислите    \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\,{\text{sin}}\,\left( { — {{22}^ \circ }30′} \right)\,\cos \left( { — {{22}^ \circ }30′} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,125.

Задача 3. Вычислите    \(8\sqrt 2 \,{\text{sin}}\,\frac{{3\pi }}{8}\,\cos \frac{{3\pi }}{8}\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 4. Вычислите    \(\frac{1}{2}\,{\text{sin}}\,\frac{{7\pi }}{{12}}\,\cos \frac{{7\pi }}{{12}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,125.

Задача 5. Вычислите    \(\sqrt 3 \,\left( {{{\cos }^2}\,{{15}^ \circ } — {{\sin }^2}\,{{15}^ \circ }} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 1,5.

Задача 6. Вычислите    \(\sqrt 2 \,\left( {{{\cos }^2}\,{{22}^ \circ }30′ — {{\sin }^2}\,{{22}^ \circ }30′} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 7. Вычислите    \(\sqrt 3 \,\left( {{{\sin }^2}\,\frac{{5\pi }}{{12}} — {{\cos }^2}\,\frac{{5\pi }}{{12}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 1,5.

Задача 8. Вычислите    \(\sqrt 8 \,\left( {{{\sin }^2}\,\frac{{9\pi }}{8} — {{\cos }^2}\,\frac{{9\pi }}{8}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -2.

Задача 9. Вычислите    \(\sqrt {12} \,{\cos ^2}\,\frac{{13\pi }}{{12}} — \sqrt {12} {\sin ^2}\,\frac{{13\pi }}{{12}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 10. Вычислите    \(\sqrt {50} \,{\sin ^2}\,\frac{{11\pi }}{8} — \sqrt {50} {\cos ^2}\,\frac{{11\pi }}{8}\)

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 11. Вычислите    \(\sqrt {72} {\cos ^2}\,\frac{{7\pi }}{8} — \sqrt {18} \)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 12. Вычислите    \(\sqrt {48} \, — \sqrt {192} {\cos ^2}\,\frac{{23\pi }}{{12}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -6.

Задача 13. Вычислите    \(\sqrt 3 \, — \sqrt {12} {\sin ^2}\,\frac{{7\pi }}{{12}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1,5.

Задача 14. Вычислите    \(\sqrt {128} \,{\sin ^2}\,\frac{{13\pi }}{8} — \sqrt {32} \)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 15. Вычислите    \(\frac{{30\sin {{138}^ \circ }\cos {{138}^ \circ }}}{{\sin {{276}^ \circ }}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 15.

Задача 16. Вычислите    \(\frac{{3\sin {{72}^ \circ }}}{{\sin {{36}^ \circ }\cos {{36}^ \circ }}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Задача 17. Вычислите    \(\frac{{15\left( {{{\sin }^2}{{49}^ \circ } — {{\cos }^2}{{49}^ \circ }} \right)}}{{\cos {{98}^ \circ }}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -15.

Задача 18. Вычислите    \(\frac{{4\cos {{126}^ \circ }}}{{{{\sin }^2}{{63}^ \circ } — {{\cos }^2}{{63}^ \circ }}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -4.

Задача 19. Вычислите    \(\frac{{9\sin {8^ \circ }}}{{\sin {4^ \circ }\sin {{86}^ \circ }}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 18.

Задача 20. Вычислите    \(\frac{{ — 19\sin {{94}^ \circ }}}{{\sin {{47}^ \circ }\sin {{43}^ \circ }}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -38.

Задача 21. Вычислите    \(\frac{{4\sin {{168}^ \circ }}}{{\cos {{84}^ \circ }\cos {6^ \circ }}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 8.

Задача 22. Вычислите    \(\frac{{ — 16\sin {{138}^ \circ }}}{{\cos {{69}^ \circ }\cos {{21}^ \circ }}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -32.

Задача 23. Вычислите    \({\left( {\sin {{15}^ \circ } + \cos {{15}^ \circ }} \right)^2}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1,5.

Задача 24. Вычислите    \({\left( {\sin {{75}^ \circ } — \cos {{75}^ \circ }} \right)^2}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 25. Вычислите    \(\frac{{{\text{tg}}\,\,\frac{\pi }{8}}}{{1 — {\text{t}}{{\text{g}}^2}\frac{\pi }{8}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 26. Вычислите    \(\frac{{\sqrt 3 \,\,{\text{tg}}\,{{75}^ \circ }}}{{1 — {\text{t}}{{\text{g}}^2}{{75}^ \circ }}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,5.

Задача 27. Вычислите    \(\frac{{{\text{ctg}}{\,^2}\,\frac{\pi }{8} — 1}}{{{\text{ctg}}\,\,\frac{\pi }{8}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 28. Вычислите    \(\frac{{{\text{ctg}}{\,^2}\,{{15}^ \circ } — 1}}{{\sqrt 3 \,\,{\text{ctg}}\,\,{{15}^ \circ }}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 29. Вычислите    \(20\sin {15^ \circ }\sin {75^ \circ }\)

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 30. Вычислите    \(\sqrt 8 \sin {22^ \circ }30’\sin {67^ \circ }30’\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 31. Вычислите    \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\sin {{75}^ \circ } — \sin {{15}^ \circ }} \right)\left( {\sin {{75}^ \circ } + \sin {{15}^ \circ }} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,75.

Задача 32. Вычислите    \(\sqrt {32} \left( {\cos \frac{\pi }{8} — \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {\cos \frac{\pi }{8} + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 33. Упростите выражение    \(\frac{{\sin 2\alpha }}{{2\cos \alpha }} — \sin \alpha \)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 34. Упростите выражение    \(\frac{{2\left( {{{\cos }^4}\alpha  — {{\sin }^4}\alpha } \right)}}{{\cos 2\alpha }}\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 35. Упростите выражение    \(\frac{{\sin \alpha \,\,\cos \alpha \,\,\cos 2\alpha \,\,\cos 4\alpha }}{{\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — 8\alpha } \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,125.

Задача 36. Упростите выражение    \(\frac{{\sin \left( {\pi  + 4\alpha } \right)}}{{\sin \frac{\alpha }{2}\,\,\cos \frac{\alpha }{2}\,\,\cos \alpha \,\,\cos 2\alpha }}\)

Ответ

ОТВЕТ: -8.

Задача 37. Упростите выражение    \(\frac{{\sin 6\alpha }}{{{{\cos }^2}3\alpha }} \cdot {\text{ctg}}\,3\alpha \)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 38. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{\cos 2\alpha }}{{\sin \alpha  — \cos \alpha }} + \sin \alpha } \right) \cdot \frac{1}{{\cos \alpha }}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 39. Упростите выражение    \(2{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + \cos \alpha \)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 40. Упростите выражение    \(2{\cos ^2}5\alpha  — \cos 10\alpha \)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 41. Упростите выражение    \(2{\sin ^2}\left( {{{45}^ \circ } — \alpha } \right) + \sin 2\alpha \)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 42. Упростите выражение    \(2{\cos ^2}\left( {{{45}^ \circ } + \alpha } \right) + \sin 2\alpha \)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 43. Упростите выражение    \(2\left( {\frac{{1 — \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }} — {\text{t}}{{\text{g}}^2}\frac{\alpha }{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 44. Упростите выражение    \({\text{tg}}\frac{\alpha }{2} — \frac{{1 — \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 45. Вычислите    \(\sin {11^ \circ }15’\, \cdot \cos {11^ \circ }15’\, \cdot \cos {22^ \circ }30’\, \cdot \cos {45^ \circ }\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,125.

Задача 46. Вычислите    \(4\,\sin \,\frac{\pi }{{48}}\, \cdot \cos \frac{\pi }{{48}}\, \cdot \cos \frac{\pi }{{24}} \cdot \cos \frac{\pi }{{12}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.

Задача 47. Вычислите    \(4\,\cos \frac{\pi }{9}\, \cdot \cos \frac{{2\pi }}{9} \cdot \cos \frac{{4\pi }}{9}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 48. Вычислите    \(4\,\cos \frac{\pi }{7}\, \cdot \cos \frac{{2\pi }}{7} \cdot \cos \frac{{4\pi }}{7}\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,5.

Задача 49. Вычислите    \(\frac{{\sin {{40}^ \circ } + \sin {{20}^ \circ }}}{{1 + \cos {{20}^ \circ } + \cos {{40}^ \circ }}} \cdot {\text{ctg}}\,{\text{2}}{0^ \circ }\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 50. Вычислите    \(\frac{{\sin {{50}^ \circ } — \sin {{25}^ \circ }}}{{1 — \cos {{25}^ \circ } + \cos {{50}^ \circ }}} — {\text{ctg}}\,{\text{6}}{{\text{5}}^ \circ }\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 51. Найдите   \(\frac{{2\sin 6\alpha }}{{7\cos 3\alpha }},\)     если    \(\sin 3\alpha  = 0,7\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,4.

Задача 52. Найдите   \(\frac{{\sin 10\alpha }}{{4\cos 5\alpha }},\)     если    \(\sin 5\alpha  = 0,3\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,15.

Задача 53. Найдите   \(\frac{{2\sin 8\alpha }}{{3\sin 4\alpha }},\)     если    \(\cos 4\alpha  =  — \,0,3\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,4.

Задача 54. Найдите   \(\frac{{\sin \frac{\alpha }{{12}}}}{{5\sin \frac{\alpha }{{24}}}},\)     если    \(\cos \frac{\alpha }{{24}} = 0,3\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,12.

Задача 55. Найдите   \(49\cos 2\alpha ,\)     если    \(\cos \alpha  = \frac{1}{7}\)

Ответ

ОТВЕТ: -47.

Задача 56. Найдите   \(27\cos 2\alpha ,\)     если    \(\cos \alpha  = \frac{2}{3}\)

Ответ

ОТВЕТ: -3.

Задача 57. Найдите   \(\sin 2\alpha ,\)     если    \(\sin \alpha  = \frac{3}{5}\)    и    \(\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\,\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,96.

Задача 58. Найдите   \(169\sin 2\alpha ,\)     если    \(\cos \alpha  = \frac{5}{{13}}\)    и    \(\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};\,2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -120.

Задача 59. Найдите   \(\sqrt 7 \sin \frac{\alpha }{2},\)     если    \(\cos \alpha  = \frac{1}{8}\)    и    \(\alpha  \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 1,75.

Задача 60. Найдите   \(\sin \frac{\alpha }{2},\)     если    \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {63} }}{8}\)    и    \(\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\,\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,75.

Задача 61. Найдите   \(\cos \frac{\alpha }{2},\)     если    \(\cos \alpha  =  — \frac{7}{8}\)    и    \(\alpha  \in \left( {\pi ;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,25.

Задача 62. Найдите   \(\sqrt 6 \cos \frac{\alpha }{2},\)     если    \(\sin \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)    и    \(\alpha  \in \left( {2\pi ;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -2.

Задача 63. Найдите   \(7{\text{tg}}\,2\alpha ,\)     если    \(\sin \alpha  =  — \frac{3}{5}\)    и    \(\alpha  \in \left( {\pi ;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 24.

Задача 64. Найдите   \({\text{24ctg}}\,2\alpha ,\)     если    \(\cos \alpha  =  — 0,8\)    и    \(\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\,\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -7.

Задача 65. Найдите   \(\frac{{2\sin 2\alpha  — 3\cos 2\alpha }}{{4\sin 2\alpha  + 5\cos 2\alpha }}\),    если    \(tg\alpha  = 3\)

Ответ

ОТВЕТ: -2,25.

Задача 66. Найдите   \(\frac{{\cos 2\alpha  — \sin 2\alpha }}{{3\sin 2\alpha  + \cos 2\alpha }}\),    если    \(ctg\alpha  =  — 3\)

Ответ

ОТВЕТ: -1,4.