Алгебра 10-11 класс. Формулы двойного и половинного аргумента
|
Задача 1. Вычислите \({\text{10}}\,{\text{sin}}\,{15^ \circ }\,\cos {15^ \circ }\) |
| Задача 2. Вычислите \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\,{\text{sin}}\,\left( { — {{22}^ \circ }30′} \right)\,\cos \left( { — {{22}^ \circ }30′} \right)\)
|
| Задача 3. Вычислите \(8\sqrt 2 \,{\text{sin}}\,\dfrac{{3\pi }}{8}\,\cos \dfrac{{3\pi }}{8}\)
|
| Задача 4. Вычислите \(\dfrac{1}{2}\,{\text{sin}}\,\dfrac{{7\pi }}{{12}}\,\cos \dfrac{{7\pi }}{{12}}\)
|
| Задача 5. Вычислите \(\sqrt 3 \,\left( {{{\cos }^2}\,{{15}^ \circ } — {{\sin }^2}\,{{15}^ \circ }} \right)\)
|
| Задача 6. Вычислите \(\sqrt 2 \,\left( {{{\cos }^2}\,{{22}^ \circ }30′ — {{\sin }^2}\,{{22}^ \circ }30′} \right)\)
|
| Задача 7. Вычислите \(\sqrt 3 \,\left( {{{\sin }^2}\,\dfrac{{5\pi }}{{12}} — {{\cos }^2}\,\dfrac{{5\pi }}{{12}}} \right)\)
|
| Задача 8. Вычислите \(\sqrt 8 \,\left( {{{\sin }^2}\,\dfrac{{9\pi }}{8} — {{\cos }^2}\,\dfrac{{9\pi }}{8}} \right)\)
|
| Задача 9. Вычислите \(\sqrt {12} \,{\cos ^2}\,\dfrac{{13\pi }}{{12}} — \sqrt {12} {\sin ^2}\,\dfrac{{13\pi }}{{12}}\)
|
| Задача 10. Вычислите \(\sqrt {50} \,{\sin ^2}\,\dfrac{{11\pi }}{8} — \sqrt {50} {\cos ^2}\,\dfrac{{11\pi }}{8}\)
|
| Задача 11. Вычислите \(\sqrt {72} {\cos ^2}\,\dfrac{{7\pi }}{8} — \sqrt {18} \)
|
| Задача 12. Вычислите \(\sqrt {48} \, — \sqrt {192} {\cos ^2}\,\dfrac{{23\pi }}{{12}}\)
|
| Задача 13. Вычислите \(\sqrt 3 \, — \sqrt {12} {\sin ^2}\,\dfrac{{7\pi }}{{12}}\)
|
| Задача 14. Вычислите \(\sqrt {128} \,{\sin ^2}\,\dfrac{{13\pi }}{8} — \sqrt {32} \)
|
| Задача 15. Вычислите \(\dfrac{{30\sin {{138}^ \circ }\cos {{138}^ \circ }}}{{\sin {{276}^ \circ }}}\)
|
| Задача 16. Вычислите \(\dfrac{{3\sin {{72}^ \circ }}}{{\sin {{36}^ \circ }\cos {{36}^ \circ }}}\)
|
| Задача 17. Вычислите \(\dfrac{{15\left( {{{\sin }^2}{{49}^ \circ } — {{\cos }^2}{{49}^ \circ }} \right)}}{{\cos {{98}^ \circ }}}\)
|
| Задача 18. Вычислите \(\dfrac{{4\cos {{126}^ \circ }}}{{{{\sin }^2}{{63}^ \circ } — {{\cos }^2}{{63}^ \circ }}}\)
|
| Задача 19. Вычислите \(\dfrac{{9\sin {8^ \circ }}}{{\sin {4^ \circ }\sin {{86}^ \circ }}}\)
|
| Задача 20. Вычислите \(\dfrac{{ — 19\sin {{94}^ \circ }}}{{\sin {{47}^ \circ }\sin {{43}^ \circ }}}\)
|
| Задача 21. Вычислите \(\dfrac{{4\sin {{168}^ \circ }}}{{\cos {{84}^ \circ }\cos {6^ \circ }}}\)
|
| Задача 22. Вычислите \(\dfrac{{ — 16\sin {{138}^ \circ }}}{{\cos {{69}^ \circ }\cos {{21}^ \circ }}}\)
|
Задача 23. Вычислите \({\left( {\sin {{15}^ \circ } + \cos {{15}^ \circ }} \right)^2}\)
Задача 24. Вычислите \({\left( {\sin {{75}^ \circ } — \cos {{75}^ \circ }} \right)^2}\)
Задача 25. Вычислите \(\dfrac{{{\text{tg}}\,\,\dfrac{\pi }{8}}}{{1 — {\text{t}}{{\text{g}}^2}\dfrac{\pi }{8}}}\)
Задача 26. Вычислите \(\dfrac{{\sqrt 3 \,\,{\text{tg}}\,{{75}^ \circ }}}{{1 — {\text{t}}{{\text{g}}^2}{{75}^ \circ }}}\)
Задача 27. Вычислите \(\dfrac{{{\text{ctg}}{\,^2}\,\dfrac{\pi }{8} — 1}}{{{\text{ctg}}\,\,\dfrac{\pi }{8}}}\)
Задача 28. Вычислите \(\dfrac{{{\text{ctg}}{\,^2}\,{{15}^ \circ } — 1}}{{\sqrt 3 \,\,{\text{ctg}}\,\,{{15}^ \circ }}}\)
Задача 29. Вычислите \(20\sin {15^ \circ }\sin {75^ \circ }\)
Задача 30. Вычислите \(\sqrt 8 \sin {22^ \circ }30’\sin {67^ \circ }30’\)
Задача 31. Вычислите \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\sin {{75}^ \circ } — \sin {{15}^ \circ }} \right)\left( {\sin {{75}^ \circ } + \sin {{15}^ \circ }} \right)\)
Задача 32. Вычислите \(\sqrt {32} \left( {\cos \dfrac{\pi }{8} — \cos \dfrac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {\cos \dfrac{\pi }{8} + \cos \dfrac{{3\pi }}{8}} \right)\)
Задача 33. Упростите выражение \(\dfrac{{\sin 2\alpha }}{{2\cos \alpha }} — \sin \alpha \)
Задача 34. Упростите выражение \(\dfrac{{2\left( {{{\cos }^4}\alpha — {{\sin }^4}\alpha } \right)}}{{\cos 2\alpha }}\)
Задача 35. Упростите выражение \(\dfrac{{\sin \alpha \,\,\cos \alpha \,\,\cos 2\alpha \,\,\cos 4\alpha }}{{\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} — 8\alpha } \right)}}\)
Задача 36. Упростите выражение \(\dfrac{{\sin \left( {\pi + 4\alpha } \right)}}{{\sin \frac{\alpha }{2}\,\,\cos \dfrac{\alpha }{2}\,\,\cos \alpha \,\,\cos 2\alpha }}\)
Задача 37. Упростите выражение \(\dfrac{{\sin 6\alpha }}{{{{\cos }^2}3\alpha }} \cdot {\text{ctg}}\,3\alpha \)
Задача 38. Упростите выражение \(\left( {\dfrac{{\cos 2\alpha }}{{\sin \alpha — \cos \alpha }} + \sin \alpha } \right) \cdot \dfrac{1}{{\cos \alpha }}\)
Задача 39. Упростите выражение \(2{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2} + \cos \alpha \)
Задача 40. Упростите выражение \(2{\cos ^2}5\alpha — \cos 10\alpha \)
Задача 41. Упростите выражение \(2{\sin ^2}\left( {{{45}^ \circ } — \alpha } \right) + \sin 2\alpha \)
Задача 42. Упростите выражение \(2{\cos ^2}\left( {{{45}^ \circ } + \alpha } \right) + \sin 2\alpha \)
Задача 43. Упростите выражение \(2\left( {\dfrac{{1 — \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }} — {\text{t}}{{\text{g}}^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right)\)
Задача 44. Упростите выражение \({\text{tg}}\dfrac{\alpha }{2} — \dfrac{{1 — \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
Задача 66. Найдите \(\dfrac{{\cos 2\alpha — \sin 2\alpha }}{{3\sin 2\alpha + \cos 2\alpha }}\), если \({\text{ctg}}\alpha = — 3\)
Задача 45. Вычислите \(\sin {11^ \circ }15’\, \cdot \cos {11^ \circ }15’\, \cdot \cos {22^ \circ }30’\, \cdot \cos {45^ \circ }\)
Задача 46. Вычислите \(4\,\sin \,\dfrac{\pi }{{48}}\, \cdot \cos \dfrac{\pi }{{48}}\, \cdot \cos \dfrac{\pi }{{24}} \cdot \cos \dfrac{\pi }{{12}}\)
Задача 47. Вычислите \(4\,\cos \dfrac{\pi }{9}\, \cdot \cos \dfrac{{2\pi }}{9} \cdot \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\)
Задача 48. Вычислите \(4\,\cos \dfrac{\pi }{7}\, \cdot \cos \dfrac{{2\pi }}{7} \cdot \cos \dfrac{{4\pi }}{7}\)
Задача 49. Вычислите \(\dfrac{{\sin {{40}^ \circ } + \sin {{20}^ \circ }}}{{1 + \cos {{20}^ \circ } + \cos {{40}^ \circ }}} \cdot {\text{ctg}}\,{\text{2}}{0^ \circ }\)
Задача 50. Вычислите \(\dfrac{{\sin {{50}^ \circ } — \sin {{25}^ \circ }}}{{1 — \cos {{25}^ \circ } + \cos {{50}^ \circ }}} — {\text{ctg}}\,{\text{6}}{{\text{5}}^ \circ }\)
Задача 51. Найдите \(\dfrac{{2\sin 6\alpha }}{{7\cos 3\alpha }},\) если \(\sin 3\alpha = 0,7\)
Задача 52. Найдите \(\dfrac{{\sin 10\alpha }}{{4\cos 5\alpha }},\) если \(\sin 5\alpha = 0,3\)
Задача 53. Найдите \(\dfrac{{2\sin 8\alpha }}{{3\sin 4\alpha }},\) если \(\cos 4\alpha = — \,0,3\)
Задача 54. Найдите \(\dfrac{{\sin \dfrac{\alpha }{{12}}}}{{5\sin \dfrac{\alpha }{{24}}}},\) если \(\cos \dfrac{\alpha }{{24}} = 0,3\)
Задача 55. Найдите \(49\cos 2\alpha ,\) если \(\cos \alpha = \dfrac{1}{7}\)
Задача 56. Найдите \(27\cos 2\alpha ,\) если \(\cos \alpha = \dfrac{2}{3}\)
Задача 57. Найдите \(\sin 2\alpha ,\) если \(\sin \alpha = \dfrac{3}{5}\) и \(\alpha \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\,\pi } \right)\)
Задача 58. Найдите \(169\sin 2\alpha ,\) если \(\cos \alpha = \dfrac{5}{{13}}\) и \(\alpha \in \left( {\dfrac{{3\pi }}{2};\,2\pi } \right)\)
Задача 59. Найдите \(\sqrt 7 \sin \dfrac{\alpha }{2},\) если \(\cos \alpha = \dfrac{1}{8}\) и \(\alpha \in \left( {0;\,\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
Задача 60. Найдите \(\sin \dfrac{\alpha }{2},\) если \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt {63} }}{8}\) и \(\alpha \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\,\pi } \right)\)
Задача 61. Найдите \(\cos \dfrac{\alpha }{2},\) если \(\cos \alpha = — \dfrac{7}{8}\) и \(\alpha \in \left( {\pi ;\,\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
Задача 62. Найдите \(\sqrt 6 \cos \dfrac{\alpha }{2},\) если \(\sin \alpha = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\) и \(\alpha \in \left( {2\pi ;\,\dfrac{{5\pi }}{2}} \right)\)
Задача 63. Найдите \(7{\text{tg}}\,2\alpha ,\) если \(\sin \alpha = — \dfrac{3}{5}\) и \(\alpha \in \left( {\pi ;\,\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
Задача 64. Найдите \({\text{24ctg}}\,2\alpha ,\) если \(\cos \alpha = — 0,8\) и \(\alpha \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\,\pi } \right)\)
Задача 65. Найдите \(\dfrac{{2\sin 2\alpha — 3\cos 2\alpha }}{{4\sin 2\alpha + 5\cos 2\alpha }}\), если \({\text{tg}}\alpha = 3\)