Алгебра 10-11 класс. Упрощение тригонометрических выражений
| Задача 1. Докажите тождество \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = 1 + \sin 2\alpha \) |
| Задача 2. Докажите тождество \({\cos ^4}\alpha — {\sin ^4}\alpha = \cos 2\alpha \) |
| Задача 3. Докажите тождество \({\cos ^3}\alpha \,\sin \alpha — {\sin ^3}\alpha \,\cos \alpha = \frac{1}{4}\sin 4\alpha \) |
| Задача 4. Докажите тождество \(1 + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4{\cos ^2}\alpha \cos 2\alpha \) |
| Задача 5. Докажите тождество \(\cos 2\alpha \left( {\sin \alpha + \sin 3\alpha } \right) = \sin 2\alpha \left( {\cos \alpha + \cos 3\alpha } \right)\) |
| Задача 6. Докажите тождество \(\cos 4\alpha = 8{\cos ^4}\alpha — 8{\cos ^2}\alpha + 1\) |
| Задача 7. Докажите тождество \(2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right) — 3\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right) = — 1\) |
| Задача 8. Докажите тождество \(\frac{{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha }}{{\cos \alpha + 2{{\cos }^2}\alpha — 1}} = 2\cos \alpha \) |
| Задача 9. Докажите тождество \(\frac{{\left( {1 + \sin \alpha } \right)\,{\text{tg}}\left( {\frac{\pi }{4} — \frac{\alpha }{2}} \right)}}{{\sin \alpha }} = ctg\alpha \) |
| Задача 10. Докажите тождество \(\frac{{\cos \left( {\frac{{5\pi }}{2} — 6\alpha } \right) + \sin \left( {\pi + 4\alpha } \right) + \sin \left( {3\pi — \alpha } \right)}}{{\sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} + 6\alpha } \right) + \cos \left( {4\alpha — 2\pi } \right) + \cos \left( {\alpha + 2\pi } \right)}} = tg\alpha \) |
| Задача 11. Докажите тождество \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}\alpha — {\text{ct}}{{\text{g}}^2}\beta = \frac{{{{\cos }^2}\alpha — {{\cos }^2}\beta }}{{{{\sin }^2}\alpha \,{{\sin }^2}\beta }}\) |
| Задача 12. Докажите тождество \(\frac{{\sin 4\alpha }}{{1 + \cos 4\alpha }} \cdot \frac{{\cos 2\alpha }}{{1 + \cos 2\alpha }} = {\text{ctg}}\left( {\frac{{3\pi }}{2} — \alpha } \right)\) |
| Задача 13. Докажите тождество \({\sin ^2}\left( {\frac{{15\pi }}{8} — 2\alpha } \right) — {\cos ^2}\left( {\frac{{17\pi }}{8} — 2\alpha } \right) = — \frac{{\cos 4\alpha }}{{\sqrt 2 }}\) |
| Задача 14. Докажите тождество \(\cos 4\alpha \,{\text{tg}}2\alpha — \sin 4\alpha = \frac{{2\,tg\alpha }}{{{\text{t}}{{\text{g}}^2}\alpha — 1}}\) |
| Задача 15. Докажите тождество \({\sin ^2}2\alpha — \cos \left( {\frac{\pi }{3} — 2\alpha } \right)\,\sin \left( {2\alpha — \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{4}\) |
| Задача 16. Докажите тождество \({\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha + 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = 1\) |
| Задача 17. Докажите тождество \(1 — \frac{1}{4}{\sin ^2}2\alpha + \cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha + {\cos ^4}\alpha \) |
| Задача 18. Докажите тождество \(\frac{{tg\alpha + tg\beta }}{{tg\left( {\alpha + \beta } \right)}} + \frac{{tg\alpha — tg\beta }}{{tg\left( {\alpha — \beta } \right)}} + 2{\text{t}}{{\text{g}}^2}\alpha = \frac{2}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) |
| Задача 19. Докажите тождество \(\frac{{{\text{ctg}}\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\,{\text{tg}}\left( {2\pi — 2\alpha } \right)}}{{{\text{ctg}}\left( {\frac{{3\pi }}{2} — 2\alpha } \right) — tg\alpha }} — 2\sqrt 3 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} — \alpha } \right) = 2\sin \left( {2\alpha — \frac{\pi }{3}} \right)\) |
| Задача 20. Докажите тождество \(\frac{{\sin 7\alpha }}{{\sin \alpha }} — 2\left( {\cos 2\alpha + \cos 4\alpha + \cos 6\alpha } \right) — 1 = 0\) |
| Задача 21. Докажите тождество \(\frac{{{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha — 1}}{{{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha — 1}} = \frac{2}{3}\) |
| Задача 22. Докажите тождество \(4\cos \left( {\frac{\pi }{6} — \alpha } \right)\,\sin \left( {\frac{\pi }{3} — \alpha } \right) = \frac{{\sin 3\alpha }}{{\sin \alpha }}\) |
| Задача 23. Докажите тождество \(\frac{{\sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} + \frac{\alpha }{2}} \right)\,\left( {1 + {\text{t}}{{\text{g}}^2}\left( {\frac{{3\alpha }}{4} — \frac{\pi }{2}} \right)} \right){{\cos }^2}\frac{\alpha }{4}}}{{{\text{t}}{{\text{g}}^2}\left( {\frac{{3\pi }}{2} — \frac{\alpha }{4}} \right) — {\text{t}}{{\text{g}}^2}\left( {\frac{{3\alpha }}{4} — \frac{{7\pi }}{2}} \right)}} = \frac{1}{8}\) |
| Задача 24. Докажите тождество \(\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha + \ldots + \cos k\alpha = \frac{{\sin \frac{{k\alpha }}{2}\cos \frac{{\left( {k + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}}}\) |
| Задача 25. Докажите тождество \(\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha + \ldots + \sin k\alpha = \frac{{\sin \frac{{k\alpha }}{2}\sin \frac{{\left( {k + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}}}\) |
| Задача 26. Упростите выражение \({\sin ^2}\alpha + \cos \,\left( {{{60}^ \circ } + \alpha } \right) \cdot \cos \,\left( {{{60}^ \circ } — \alpha } \right)\)
|
| Задача 27. Упростите выражение \({\text{tg}}\,\alpha — \frac{{{{\sin }^3}\alpha + {{\cos }^3}\alpha }}{{\cos \alpha \,\left( {1 — \cos \alpha \cdot \sin \alpha } \right)}}\)
|
| Задача 28. Упростите выражение \(1 — \frac{1}{{1 — {{\sin }^{ — 1}}\left( {2\alpha + \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}\)
|
| Задача 29. Упростите выражение \({\text{ctg}}\left( {{{45}^ \circ } — \frac{\alpha }{{\text{2}}}} \right) + {\text{ctg}}\left( {{{135}^ \circ } — \frac{\alpha }{2}} \right)\)
|
| Задача 30. Упростите выражение \(\frac{{{{\cos }^{ — 1}}2\alpha + \sin 2\alpha \,{\text{tg}}2\alpha }}{{1 + \cos 4\alpha }} + \frac{{{\text{tg}}\left( {\frac{\pi }{4} — \alpha } \right)}}{{4{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} — \alpha } \right)\,}}\)
|
| Задача 31. Упростите выражение \(\frac{{1 — \cos \,\left( {8\alpha — 3\pi } \right)}}{{{\text{tg}}\,2\alpha — {\text{ctg}}\,2\alpha }}\)
|
| Задача 32. Упростите выражение \(\frac{{{\text{ct}}{{\text{g}}^2}\left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)\,{{\cos }^2}\left( {\alpha — \frac{\pi }{2}} \right)}}{{{\text{ct}}{{\text{g}}^2}\left( {\alpha — \frac{\pi }{2}} \right) — {{\cos }^2}\left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)}}\)
|
| Задача 33. Упростите выражение \(\left( {{\text{tg}}\frac{\alpha }{2} — {\text{ctg}}\frac{\alpha}{2}} \right):\left( {{\text{tg}}\frac{\alpha }{2} + {\text{ctg}}\frac{\alpha }{2}} \right)\)
|
| Задача 34. Упростите выражение \(\frac{{{{\cos }^2}\left( {\frac{{5\pi }}{4} — 2\alpha } \right) — {{\sin }^2}\left( {\frac{{5\pi }}{4} — 2\alpha } \right)}}{{\left( {\cos \frac{\alpha }{2} + \sin \frac{\alpha }{2}} \right)\,\left( {\cos \,\left( {2\pi — \frac{\alpha }{2}} \right) + \cos \,\left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\alpha }{2}} \right)} \right)\sin \alpha }}\)
|
| Задача 35. Упростите выражение \(\sqrt {\left( {1 — {\text{t}}{{\text{g}}^2}\frac{\alpha }{2}} \right)\,\left( {{\text{ct}}{{\text{g}}^2}\frac{\alpha }{2} — 1} \right)} \)
|
| Задача 36. Упростите выражение \(\frac{{\cos 2\alpha — \cos 6\alpha + \cos 10\alpha — \cos 14\alpha }}{{\sin 2\alpha + \sin 6\alpha + \sin 10\alpha + \sin 14\alpha }}\)
|
| Задача 37. Упростите выражение \(\frac{{{{\left( {1 + {\text{tg}}\,2\alpha } \right)}^2} — 2{\text{t}}{{\text{g}}^2}2\alpha }}{{1 + {\text{t}}{{\text{g}}^2}2\alpha }} — \sin 4\alpha — 1\)
|
| Задача 38. Упростите выражение \({\cos ^4}2\alpha — 6{\cos ^2}2\alpha \,\,{\sin ^2}2\alpha + {\sin ^4}2\alpha \)
|
| Задача 39. Упростите выражение \({\sin ^2}2\alpha + {\sin ^2}\beta + \cos \,\left( {2\alpha + \beta } \right)\,\cos \,\left( {2\alpha — \beta } \right)\)
|
| Задача 40. Упростите выражение \({\cos ^2}\left( {{{45}^ \circ } + \alpha } \right) — {\cos ^2}\left( {{{30}^ \circ } — \alpha } \right) + \sin {15^ \circ }\,\sin \left( {{{75}^ \circ } — 2\alpha } \right)\)
|
| Задача 41. Упростите выражение \({\sin ^2}\left( {{{135}^ \circ } — 2\alpha } \right) — {\sin ^2}\left( {{{210}^ \circ } — 2\alpha } \right) — \sin {195^ \circ }\cos \left( {{{165}^ \circ } — 4\alpha } \right)\)
|
| Задача 42. Упростите выражение \(\sqrt {\frac{{2\sin \alpha — \sin 2\alpha }}{{2\sin \alpha + \sin 2\alpha }}} \,,\) если \(\pi < \alpha < 2\pi \)
|
| Задача 43. Упростите выражение \(\frac{{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha }}{{\cos \alpha + 2{{\cos }^2}\alpha — 1}}\)
|
| Задача 44. Упростите выражение \(\frac{{\sin 6\alpha }}{{\sin 2\alpha }} + \frac{{\cos \,\left( {6\alpha — \pi } \right)}}{{\cos 2\alpha }}\)
|
| Задача 45. Упростите выражение \(\cos \,\left( {{{270}^ \circ } — 2\alpha } \right)\,\,{\text{ctg}}\,\left( {{{30}^ \circ } — 2\alpha } \right)\,\,{\text{tg}}\,\left( {{{240}^ \circ } — 2\alpha } \right)\,\left( {2\cos 4\alpha — 1} \right)\)
|
| Задача 46. Вычислите \({\sin ^4}\frac{\pi }{8} + {\cos ^4}\frac{{3\pi }}{8} + {\sin ^4}\frac{{5\pi }}{8} + {\cos ^4}\frac{{7\pi }}{8}\)
|
| Задача 47. Вычислите \(\frac{{3\,\left( {\cos {{20}^ \circ } — \sin 20{}^ \circ } \right)}}{{\sqrt 2 \cdot \sin {{25}^ \circ }}}\)
|
| Задача 48. Вычислите \(\frac{1}{{2\cos {{40}^ \circ }}} + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sin {{40}^ \circ }}}\)
|
| Задача 49. Вычислите \(\cos \frac{\pi }{5} + \cos \frac{{3\pi }}{5}\)
|
| Задача 50. Вычислите \(\frac{{\cos {{109}^ \circ } — \cos {{19}^ \circ }}}{{1 — 2{{\sin }^2}{{13}^ \circ }}}\)
|
| Задача 51. Вычислите \({\text{ctg}}\frac{{13\pi }}{{12}} — {\text{ctg}}\frac{{5\pi }}{{12}}\)
|
| Задача 52. Вычислите \(2\sin {55^ \circ } \cdot \cos {10^ \circ } + 2{\sin ^2}{12^ \circ }30′ + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
|
| Задача 53. Вычислите \(2\sin {35^ \circ } \cdot \cos {10^ \circ } + 2{\sin ^2}{32^ \circ }30′ — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
|
| Задача 54. Вычислите \({\text{tg}}\,{9^ \circ } — {\text{tg}}\,{27^ \circ } — {\text{tg}}\,{63^ \circ } + {\text{tg}}\,{81^ \circ }\)
|
| Задача 55. Вычислите \(\sin {10^ \circ }\sin {30^ \circ }\sin {50^ \circ }\sin {70^ \circ }\)
|
| Задача 56. Вычислите \(\sin {20^ \circ }\sin {40^ \circ }\sin {60^ \circ }\sin {80^ \circ }\)
|
| Задача 57. Вычислите \({\text{tg}}\,{9^ \circ } + {\text{tg}}\,{15^ \circ } — {\text{tg}}\,{27^ \circ } — {\text{ctg}}\,{27^ \circ } + {\text{ctg}}\,{9^ \circ } + {\text{ctg}}\,{15^ \circ }\)
|
| Задача 58. Вычислите \(\frac{{\sin {{24}^ \circ }\cos {6^ \circ } — \sin {6^ \circ }\sin {{66}^ \circ }}}{{\sin {{21}^ \circ }\cos {{39}^ \circ } — \sin {{39}^ \circ }\cos {{21}^ \circ }}}\)
|
| Задача 59. Вычислите \(\frac{{\sin {{20}^ \circ }\cos {{10}^ \circ } + \cos {{160}^ \circ }\cos {{100}^ \circ }}}{{\sin {{21}^ \circ }\cos {9^ \circ } + \cos {{159}^ \circ }\cos {{99}^ \circ }}}\)
|
| Задача 60. Вычислите \(\sin {20^ \circ }\cos {50^ \circ }\sin {60^ \circ }\cos {10^ \circ }\)
|
| Задача 61. Найдите \(\frac{5}{{6 + 7\sin 2\alpha }}\), если \({\text{tg}}\,\alpha = 0,2\)
|
| Задача 62. Найдите \(\frac{{3 — \sin \alpha \,\cos \alpha }}{{6{{\cos }^2}\alpha — {{\sin }^2}\alpha }}\), если \({\text{tg}}\,\alpha = — 2\)
|
| Задача 63. Найдите \({\text{tg}}\,2\alpha \), если \(\sin \left( {\alpha — {{90}^ \circ }} \right) = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\) и \(\alpha \in \left( {{{90}^ \circ };\,{{180}^ \circ }} \right)\)
|
| Задача 64. Найдите \(\cos \alpha + \cos \beta \), если \(\alpha + \beta = 4\pi \) и \(\alpha — \beta = \frac{\pi }{2}\)
|
| Задача 65. Найдите \(\cos \,\left( {2\alpha + \frac{{7\pi }}{4}} \right)\), если \({\text{tg}}\,\alpha = \frac{3}{2}\)
|
| Задача 66. Найдите \(\cos \left( {\alpha + 2\beta } \right)\), если \({\text{tg}}\,\alpha = \frac{5}{{12}},\) \(\alpha \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) и \({\text{tg}}\;\beta = — \frac{3}{4}\)
|
| Задача 67. Найдите \(21\cos \frac{\alpha }{2}\), если \(\cos \alpha = \frac{7}{{18}}\) и \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\)
|
| Задача 68. Найдите \({\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} + 2\alpha } \right)\), если \(\sin 4\alpha = — \frac{1}{5}\)
|
| Задача 69. Найдите \(\frac{{\sin \alpha — \sin \beta }}{{\cos \alpha + \cos \beta }}\), если \(\alpha — \beta = \frac{\pi }{2}\)
|
| Задача 70. Найдите \(\cos \,\left( {2\alpha + \frac{{5\pi }}{4}} \right)\), если \(tg\alpha = \frac{2}{3}\)
|
| Задача 71. Найдите \({\text{t}}{{\text{g}}^2}\alpha + {\text{ct}}{{\text{g}}^2}\alpha \), если \({\text{tg}}\,\alpha — {\text{ctg}}\,\alpha = 3\)
|
| Задача 72. Найдите \(\sqrt 2 \,\sin \,\left( {\frac{\pi }{4} + 2\alpha } \right)\), если \({\text{ctg}}\,\alpha = — \frac{1}{3}\)
|
| Задача 73. Найдите \({\sin ^3}\alpha — {\cos ^3}\alpha \), если \(\sin \alpha — \cos \alpha = \frac{1}{3}\)
|
| Задача 74. Найдите \({\text{tg}}\,\alpha \), если \(15{\cos ^2}\alpha — 2\cos \alpha — 1 = 0\) и \( — \pi < \alpha < — \frac{\pi }{2}\)
|
| Задача 75. Найдите \({\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha \), если \(\sin \alpha — \cos \alpha = 0,5\)
|
| Задача 76. Найдите \(\left( {1 + {\text{ctg}}\,\alpha } \right)\,\left( {1 + {\text{ctg}}\,\beta } \right)\), если \(\alpha + \beta = \frac{{3\pi }}{4}\)
|
| Задача 77. Найдите \(\frac{{2\sin 2\alpha — 3\cos 2\alpha }}{{4\sin 2\alpha + 5\cos 2\alpha }}\), если \(tg\alpha = 3\)
|
| Задача 78. Найдите \({\text{tg}}\frac{\alpha }{2}\), если \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5}\)
|
| Задача 79. Найдите \({\text{tg}}\,\alpha + {\text{ctg}}\,\alpha \), если \(\cos \alpha = \frac{m}{{\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}\) и \({270^ \circ } < \alpha < {360^ \circ }\)
|
| Задача 80. Найдите \(32\sin \frac{\alpha }{2}\,\sin \frac{{5\alpha }}{2}\), если \(\cos \alpha = \frac{3}{4}\)
|