Задача 1. Решите уравнения: а) \(\sin x = 1\) б) \(\sin x = — 1\) в) \(\sin x = 0\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\quad k \in Z.\) б) \( — \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\quad k \in Z.\) в) \(\pi k;\quad k \in Z.\)
|
| Задача 2. Решите уравнения: а) \(\cos x = 1\) б) \(\cos x = — 1\) в) \(\cos x = 0\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(2\pi k;\quad k \in Z.\) б) \(\pi + 2\pi k;\quad k \in Z.\) в) \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\quad k \in Z.\)
|
| Задача 3. Решите уравнения: а) \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) б) \(\sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) в) \(\sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Ответ
ОТВЕТ:
а) \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\) б) \(\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\;\;\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\;k \in Z.\)
в) \(\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\;\;\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\)
|
| Задача 4. Решите уравнения: а) \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) б) \(\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) в) \(\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\;k \in Z.\) б) \( \pm \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\quad k \in Z.\) в) \( \pm \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\)
|
| Задача 5. Решите уравнения: а) \(\sin x = — \dfrac{1}{2}\) б) \(\sin x = — \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) в) \(\sin x = — \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( — \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\;\; — \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\) б) \( — \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\,\, — \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\,\,\,k \in Z.\)
в) \( — \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\quad — \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)
|
| Задача 6. Решите уравнения: а) \(\cos x = — \dfrac{1}{2}\) б) \(\cos x = — \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) в) \(\cos x = — \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\,\,\,k \in Z.\) б) \( \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\,\,\,k \in Z.\) в) \( \pm \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 7. Решите уравнения: а) \({\text{tg}}\,x = 1\) б) \({\text{tg }}x = — 1\) в) \({\text{ tg }}x = 0\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\) б) \( — \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\) в) \(\pi k;\quad k \in Z.\)
|
| Задача 8. Решите уравнения: а) \(\operatorname{ctg} x = 1\) б) \({\text{ctg }}x = — 1\) в) \({\text{ctg }}x = 0\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\;\;k \in Z.\) б) \( — \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\;\;k \in Z.\) в) \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\;\;k \in Z.\)
|
| Задача 9. Решите уравнения: а) \({\text{tg}}\,x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) б) \({\text{tg }}x = \sqrt 3 \) в) \({\text{ tg }}x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{\pi }{6} + \pi k;\;\;k \in Z.\) б) \(\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\;\;k \in Z.\) в) \(\dfrac{\pi }{6} + \pi k;\;\;k \in Z.\)
|
| Задача 10. Решите уравнения: а) \(\operatorname{ctg} x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) б) \({\text{ctg }}x = \sqrt 3 \) в) \({\text{ctg }}x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\;\;k \in Z.\) б) \(\dfrac{\pi }{6} + \pi k;\;\;k \in Z.\) в) \(\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\;\;k \in Z.\)
|
| Задача 11. Решите уравнения: а) \({\text{tg}}\,x = — \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) б) \({\text{tg }}x = — \sqrt 3 \) в) \({\text{ tg }}x = — \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( — \dfrac{\pi }{6} + \pi k;\;\;k \in Z.\) б) \( — \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\;\;k \in Z.\) в) \( — \dfrac{\pi }{6} + \pi k;\;\;k \in Z.\)
|
| Задача 12. Решите уравнения: а) \(\operatorname{ctg} x = — \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) б) \({\text{ctg }}x = — \sqrt 3 \) в) \({\text{ctg }}x = — \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( — \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\;\;k \in Z.\) б) \( — \dfrac{\pi }{6} + \pi k;\quad k \in Z.\) в) \( — \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)
|
| Задача 13. Решите уравнения: а) \(\sin x = \dfrac{1}{3}\) б) \(\sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\) в) \(\sin x = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)
Ответ
ОТВЕТ:
а) \(\arcsin \dfrac{1}{3} + 2\pi k;\,\,\,\,\pi — \arcsin \dfrac{1}{3} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\)
б) \(\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{3} + 2\pi k;\;\;\pi — \arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\) в) нет решений.
|
| Задача 14. Решите уравнения: а) \(\cos x = \dfrac{2}{3}\) б) \(\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) в) \(\cos x = \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( \pm \arccos \dfrac{2}{3} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\) б) \( \pm \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\) в) нет решений.
|
| Задача 15. Решите уравнения: а) \({\text{tg}}\,x = 2\) б) \({\text{tg }}x = \dfrac{1}{2}\) в) \({\text{ tg }}x = \dfrac{\pi }{2}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \({\text{arctg}}2 + \pi k;\;\;\,k \in Z.\) б) \(\operatorname{arctg} \dfrac{1}{2} + \pi k;\,\,\,k \in Z.\) в) \(\operatorname{arctg} \dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 16. Решите уравнения: а) \(\operatorname{ctg} x = 3\) б) \({\text{ctg }}x = \dfrac{3}{2}\) в) \({\text{ctg }}x = \dfrac{{2\pi }}{3}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\operatorname{arcctg} 3 + \pi k;\quad k \in Z.\) б) \(\operatorname{arcctg} \dfrac{3}{2} + \pi k;\quad k \in Z.\) в) \(\operatorname{arcctg} \dfrac{{2\pi }}{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)
|
| Задача 17. Решите уравнения: а) \(\sin x = — \dfrac{2}{3}\) б) \(\sin x = — \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\) в) \(\sin x = — \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)
Ответ
ОТВЕТ:
а) \( — \arcsin \dfrac{2}{3} + 2\pi k;\quad \pi + \arcsin \dfrac{2}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)
б) \( — \arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{3} + 2\pi k;\,\,\,\,\,\pi + \arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z\) в) нет решений.
|
| Задача 18. Решите уравнения: а) \(\cos x = — \dfrac{1}{3}\) б) \(\cos x = — \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\) в) \(\cos x = — \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( \pm \left( {\pi — \arccos \dfrac{1}{3}} \right) + 2\pi k;\quad k \in Z.\) б) \( \pm \left( {\pi — \arccos \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}} \right) + 2\pi k;\quad k \in Z.\) в) нет решений.
|
| Задача 19. Решите уравнения: а) \({\text{tg}}\,x = — 3\) б) \({\text{tg }}x = — \dfrac{4}{7}\) в) \({\text{ tg }}x = — \dfrac{\pi }{2}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( — {\text{arctg}}3 + \pi k;\quad k \in Z.\) б) \( — {\text{arctg}}\dfrac{4}{7} + \pi k;\;\;k \in Z.\) в) \( — {\text{arctg}}\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\;k \in Z.\)
|
| Задача 20. Решите уравнения: а) \(\operatorname{ctg} x = — 13\) б) \({\text{ctg }}x = — \dfrac{3}{4}\) в) \({\text{ctg }}x = — \dfrac{\pi }{3}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( — {\text{arcctg13}} + \pi k;\;\;k \in Z.\) б) \( — {\text{arcctg}}\dfrac{3}{4} + \pi k;\quad k \in Z.\) в) \( — {\text{arcctg}}\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)
|
| Задача 21. Решите уравнения: а) \(\sin 2x = — \dfrac{1}{2}\) б) \(\sin 5x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) в) \(\sin \dfrac{x}{3} = — \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( — \dfrac{\pi }{{12}} + \pi k;\,\,\,\, — \dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi k;\,\,\,\,k \in Z.\) б) \(\frac{\pi }{{20}} + \dfrac{{2\pi k}}{5};\quad \dfrac{{3\pi }}{{20}} + \dfrac{{2\pi k}}{5};\,\,\,\,k \in Z.\)
в) \( — \pi + 6\pi k;\,\,\,\, — 2\pi + 6\pi k;\;\;k \in Z.\)
|
| Задача 22. Решите уравнения: а) \(\cos 4x = — \dfrac{1}{2}\) б) \(\cos 3x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) в) \(\cos \dfrac{x}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( \pm \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{\pi k}}{2};\,\,\,k \in Z.\) б) \( \pm \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{2\pi k}}{3};\,\,\,\,k \in Z.\) в) \( \pm \dfrac{\pi }{3} + 4\pi k;\,\,\,\,k \in Z\)
|
| Задача 23. Решите уравнения: а) \(\sin 4x = \dfrac{1}{4}\) б) \(\sin \dfrac{{2x}}{3} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}\) в) \(\sin 6x = — \dfrac{{\sqrt 3 }}{7}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{1}{4}\arcsin \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad \dfrac{\pi }{4} — \dfrac{1}{4}\arcsin \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)
б) \(\dfrac{{3\pi }}{2} — \dfrac{3}{2}arcsin\dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 3\pi k;\quad \dfrac{3}{2}arcsin\frac{{\sqrt 2 }}{5} + 3\pi k;\quad k \in Z.\)
в) \( — \dfrac{1}{6}\arcsin \dfrac{{\sqrt 3 }}{7} + \dfrac{{\pi k}}{3};\,\,\,\,\,\, — \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{1}{6}\arcsin \dfrac{{\sqrt 3 }}{7} + \dfrac{{\pi k}}{3};\quad k \in Z.\)
|
| Задача 24. Решите уравнения: а) \(\cos 2x = \dfrac{1}{3}\) б) \(\cos 7x = — \dfrac{1}{5}\) в) \(\cos \dfrac{{3x}}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( \pm \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{1}{3} + \pi k;\quad k \in Z.\) б) \( \pm \dfrac{1}{7}\arccos \left( { — \dfrac{1}{5}} \right) + \dfrac{{2\pi k}}{7};\quad k \in Z.\)
в) \( \pm \dfrac{2}{3}\arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{4} + \dfrac{{4\pi k}}{3};\;\;k \in Z.\)
|
| Задача 25. Решите уравнения: а) \(\sin \left( { — 4x} \right) = \dfrac{1}{4}\) б) \(\sin \left( { — \dfrac{x}{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}\) в) \(\sin \left( { — 6x} \right) = — \dfrac{{\sqrt 3 }}{7}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( — \dfrac{1}{4}\arcsin \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad \dfrac{1}{4}\left( { — \pi + \arcsin \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)
б) \( — 3\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 6\pi k;\,\,\,\,\, — 3\left( {\pi — \arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}} \right) + 6\pi k;\;k \in Z.\)
в) \(\dfrac{1}{6}\arcsin \dfrac{{\sqrt 3 }}{7} + \dfrac{{\pi k}}{3};\,\,\,\,\,\dfrac{1}{6}\left( {\pi — \arcsin \dfrac{{\sqrt 3 }}{7}} \right) + \dfrac{{\pi k}}{3};\;k \in Z.\)
|
| Задача 26. Решите уравнения: а) \(\cos \left( { — 2x} \right) = — \dfrac{1}{3}\) б) \(\cos \left( { — 7x} \right) = \dfrac{2}{5}\) в) \(\cos \left( { — \dfrac{{2x}}{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( \pm \dfrac{1}{2}\arccos \left( { — \dfrac{1}{3}} \right) + \pi k;\quad k \in Z.\) б) \( \pm \dfrac{1}{7}\arccos \dfrac{2}{5} + \dfrac{{2\pi k}}{7};\quad k \in Z.\)
в) \( \pm \dfrac{3}{2}\arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} + 3\pi k;\quad k \in Z.\)
|
| Задача 27. Решите уравнения: а) \({\text{tg}}\,3x = — \sqrt 3 \) б) \({\text{tg 5}}x = — \dfrac{4}{7}\) в) \({\text{ tg }}\dfrac{{2x}}{5} = 1\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( — \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{\pi k}}{3};\,\,k \in Z.\) б) \( — \dfrac{1}{5}arctg\frac{4}{7} + \dfrac{{\pi k}}{5};\,\,k \in Z.\) в) \(\dfrac{{5\pi }}{8} + \dfrac{{5\pi k}}{2};\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 28. Решите уравнения: а) \(\operatorname{ctg} 3x = — 1\) б) \({\text{ctg 2}}x = 0\) в) \({\text{ctg }}\dfrac{x}{4} = — \sqrt 3 \)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( — \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{\pi k}}{3};\,\,\,k \in Z.\) б) \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\,\,\,\,k \in Z.\) в) \( — \dfrac{{2\pi }}{3} + 4\pi k;\,\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 29. Решите уравнения: а) \({\text{tg}}\,\left( { — 3x} \right) = \sqrt 3 \) б) \({\text{tg}}\left( { — {\text{5}}x} \right) = 0\) в) \({\text{ tg}}\left( { — \dfrac{{2x}}{5}} \right) = 1\)
Ответ
ОТВЕТ: а)\( — \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{\pi k}}{3};\quad k \in Z.\) б) \(\dfrac{{\pi k}}{5};\quad k \in Z.\) в) \( — \dfrac{{5\pi }}{8} + \dfrac{{5\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)
|
| Задача 30. Решите уравнения: а) \(\operatorname{ctg} \left( { — 3x} \right) = — 1\) б) \({\text{ctg}}\left( { — {\text{2}}x} \right) = 1\) в) \({\text{ctg}}\left( { — \dfrac{x}{4}} \right) = — \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{\pi k}}{3};\,\,\,k \in Z.\) б) \( — \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{2};\,\,\,k \in Z.\) в) \(\dfrac{{4\pi }}{3} + 4\pi k;\,\,\,\,k \in Z.\)
|
| Задача 31. Решите уравнения: а) \(\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{2}\) б) \(2\sin \left( {\dfrac{{2x}}{5} — \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = 1\) в) \(\sqrt 2 \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} — 6x} \right) = 1\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( — \dfrac{\pi }{{12}} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi k;\,\,\,k \in Z.\) б) \(\dfrac{{15\pi }}{4} + 5\pi k;\,\,\,\,\,\dfrac{{25\pi }}{{12}} + 5\pi k;\,\,\,k \in Z.\)
в) \(\dfrac{\pi }{{72}} + \dfrac{{\pi k}}{3};\quad — \dfrac{{5\pi }}{{72}} + \dfrac{{\pi k}}{3};\quad k \in Z.\)
|
| Задача 32. Решите уравнения: а) \(2\cos \left( {2x — \dfrac{\pi }{2}} \right) = — 1\) б) \(\cos \left( {3x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\) в) \(\cos \left( {\dfrac{\pi }{6} — \dfrac{{2x}}{3}} \right) = — \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \( — \dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi k;\,\,\,\,\,\, — \dfrac{\pi }{{12}} + \pi k;\quad k \in Z.\) б) \( — \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{2\pi k}}{3};\quad k \in Z.\)
в) \(\dfrac{{3\pi }}{2} + 3\pi k;\,\,\,\,\, — \pi + 3\pi k;\quad k \in Z.\)
|
| Задача 33. Решите уравнения: а) \({\text{tg}}\,\left( {3x — \dfrac{\pi }{6}} \right) = — \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) б) \(\sqrt 3 {\text{tg}}\left( {\dfrac{{2\pi }}{3} — 4x} \right) = — 3\) в) \({\text{ tg}}\left( { — x — \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{{\pi k}}{3};\quad k \in Z.\) б) \(\dfrac{{\pi k}}{4};\quad k \in Z.\) в) \( — \dfrac{{2\pi }}{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)
|
| Задача 34. Решите уравнения: а) \(2\operatorname{ctg} \left( {3x — \dfrac{\pi }{4}} \right) = — 2\) б) \({\text{ctg }}\left( {{\text{2}}x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 0\) в) \(\sqrt 3 {\text{ctg }}\left( {\dfrac{\pi }{4} — \dfrac{x}{4}} \right) = — 1\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{{\pi k}}{3};\quad k \in Z.\) б) \(\dfrac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\) в) \(\dfrac{{7\pi }}{3} + 4\pi k;\quad k \in Z.\)
|