Алгебра 10-11 класс. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции

Задача 1. Решите уравнение: \(\arcsin \left( {1 + 2x} \right) = \arcsin \left( {2{x^2} — x — 1} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,5.

Задача 2. Решите уравнение: \(\arcsin \left( {3{x^2} — 4x — 1} \right) = \arcsin \left( {x + 1} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{1}{3}.\)

Задача 3. Решите уравнение: \(\arccos \left( {4{x^2} — 3x — 2} \right) + \arccos \left( {3{x^2} — 8x — 4} \right) = \pi .\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{3}{7}.\)

Задача 4. Решите уравнение: \(\arccos \frac{{7x + 5}}{{13}} = \arcsin \frac{{4x + 1}}{{13}}.\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 5. Решите уравнение: \(\arcsin \frac{{\sqrt {3x + 2} }}{2} — \frac{\pi }{2} + {\text{arctg}}\sqrt {\frac{2}{{x + 1}}} = 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{1}{3}.\)

Задача 6. Решите уравнение: \(2\arcsin 2x = 3\arccos x.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{2}.\)

Задача 7. Решите уравнение: \(\arcsin \left( {3{x^2} — 4x — 1} \right) = — \arcsin \left( { — x — 1} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{1}{3}.\)

Задача 8. Решите уравнение: \(\arcsin x\left( {4\arcsin x + 3\arccos x} \right) = {\pi ^2}.\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 9. Решите уравнение: \(\arcsin x \cdot \arccos x = \frac{{{\pi ^2}}}{{18}}.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{2};\,\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Задача 10. Решите уравнение: \(\arcsin \left( {x\sqrt 2 } \right) + \arccos x = \frac{\pi }{4}.\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Задача 11. Решите уравнение: \({\text{arctg}}\left( {2\sin x} \right) = {\text{arcctg}}\left( {\cos x} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 12. Решите уравнение: \(12{\text{arct}}{{\text{g}}^2}\frac{x}{2} = \pi \left( {3\pi + 5{\text{arctg}}\frac{x}{2}} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — 2\sqrt 3 .\)

Задача 13. Решите уравнение: \({\text{arctg}}\,\sqrt {{x^2} + x} + \arcsin \sqrt {{x^2} + x + 1} = \frac{\pi }{2}.\)

Ответ

ОТВЕТ: -1; 0.

Задача 14. Решите уравнение: \(\arcsin \left( {x\left( {x + y} \right)} \right) + \arcsin \left( {y\left( {x + y} \right)} \right) = \pi .\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right),\,\,\,\,\left( { — \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\, — \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).\)

Задача 15. Решите уравнение: \(\arccos \left( {3x — 4} \right) = 2\,{\text{arctg}}\left( {5 — 3x} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{4}{3};\,\,\,\frac{5}{3}.\)

Задача 16. Решите неравенство: \({\text{arcctg}}\left( {8{x^2} — 6x — 1} \right) \leqslant {\text{arcctg}}\left( {4{x^2} — x + 8} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 1} \right] \cup \left[ {\frac{9}{4};\,\infty } \right).\)

Задача 17. Решите неравенство: \(3\arcsin 2x < 1.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — \frac{1}{2};\,\frac{1}{2}\sin \frac{1}{3}} \right).\)

Задача 18. Решите неравенство: \(\arccos \left( {{x^2} — 3} \right) \leqslant \arccos \left( {x + 3} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: -2.

Задача 19. Решите неравенство: \({\text{arcctg}}\left( {2 — x} \right) \leqslant {\text{arcctg}}\left( { — \frac{3}{x}} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\, — 1} \right] \cup \left( {0;\,3} \right].\)

Задача 20. Решите неравенство: \(\arcsin \frac{{x + 2}}{5} \leqslant \arccos \frac{{3x + 1}}{5}.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 2;\,1} \right].\)

Задача 21. Решите неравенство: \(\arccos x + \arccos \left( {x\sqrt 2 } \right) + \arccos \left( {x\sqrt 3 } \right) \leqslant \frac{{3\pi }}{4}.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{1}{2};\,\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right].\)

Задача 22. Решите неравенство: \(\arcsin 2x + \arccos \left( {6x — 2} \right) \leqslant \frac{{5\pi }}{6}.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{1}{4};\,\frac{1}{2}} \right].\)