Алгебра 10-11 класс. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 10-11 класс. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного

Задача 1. Решите уравнение: \(\sin x\left( {2\sin x — 1} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 2. Решите уравнение: \(\cos x\left( {2\cos x + \sqrt 2 } \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,\,\, \pm \,\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 3. Решите уравнение: \(\sqrt 2 {\sin ^2}x + \sin x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\,\,\,\,\, — \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\quad \, — \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 4. Решите уравнение: \(2{\cos ^2}x — \sqrt 3 \cos x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,\,\, \pm \,\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 5. Решите уравнение: \({\text{tg}}\,x\left( {{\text{tg}}\,x — 1} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 6. Решите уравнение: \({\text{ctg}}\,x\left( {{\text{ctg}}\,x + 1} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\quad \, — \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 7. Решите уравнение: \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x — \sqrt 3 {\text{tg}}\,x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 8. Решите уравнение: \({\text{3}}\,{\text{ct}}{{\text{g}}^2}x + \sqrt 3 \,{\text{ctg}}\,x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\quad \, — \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 9. Решите уравнение: \({\sin ^2}x — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 10. Решите уравнение: \({\cos ^2}x — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 11. Решите уравнение: \({\sin ^2}x = \dfrac{1}{4}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{6} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 12. Решите уравнение: \({\cos ^2}x = \dfrac{1}{4}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 13. Решите уравнение: \({\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)

Задача 14. Решите уравнение: \({\cos ^2}x = \dfrac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)

Задача 15. Решите уравнение: \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)

Задача 16. Решите уравнение: \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}x = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)

Задача 17. Решите уравнение: \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x = 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 18. Решите уравнение: \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}x = 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{6} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 19. Решите уравнение: \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x = \dfrac{1}{3}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{6} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 20. Решите уравнение: \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}x = \dfrac{1}{3}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 21. Решите уравнение: \(\left( {4{{\sin }^2}x — 3} \right)\,\left( {{\text{tg}}\,x + 1} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad — \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 22. Решите уравнение: \(\left( {4{{\cos }^2}x — 3} \right)\,\left( {{\text{ctg}}\,x — 1} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{6} + \pi k;\quad \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 23. Решите уравнение: \(2{\sin ^2}x + \sin x — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 24. Решите уравнение: \(2{\cos ^2}x — \cos x — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\pi k;\quad \, \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 25. Решите уравнение: \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x + 3{\text{tg}}\,x — 4 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\,\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad \, — {\text{arctg}}4 + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 26. Решите уравнение: \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}x — 3{\text{ctg}}\,x + 2 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\,\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad \,{\text{arcctg}}\,{\text{2}} + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 27. Решите уравнение: \(2{\cos ^2}\dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2} — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\pi + 4\pi k;\quad \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 4\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 28. Решите уравнение: \(4\operatorname{ctg} 2x + {\operatorname{ctg} ^2}2x — 5 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi \,k}}{2};\,\,\,\, — \dfrac{1}{2}{\text{arcctg}}\,5 + \dfrac{{\pi \,k}}{2};\quad k \in Z.\)

Задача 29. Решите уравнение: \(3{\sin ^2}2x + 10\sin 2x + 3 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{1}{2}\arcsin \dfrac{1}{3} + \pi k;\quad \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{1}{2}\arcsin \dfrac{1}{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 30. Решите уравнение: \(2{\cos ^2}3x — 5\cos 3x — 3 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{{2\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3};\quad k \in Z.\)

Задача 31. Решите уравнение: \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right){\text{tg}}\,x{\text{ + }}\sqrt 3 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\,\, — \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\;\;k \in Z.\)

Задача 32. Решите уравнение: \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}x — \left( {1 + \sqrt 3 } \right){\text{ctg}}\,x{\text{ + }}\sqrt 3 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\,\,\dfrac{\pi }{6} + \pi k;\;\;k \in Z.\)

Задача 33. Решите уравнение: \(4{\cos ^4}x — 4{\cos ^2}x + 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\;\;k \in Z.\)

Задача 34. Решите уравнение: \(8{\sin ^4}x — 10{\sin ^2}x + 3 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\,\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad \, \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 35. Решите уравнение: \({\cos ^2}\left( {\pi + x} \right) + \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + x} \right) — 2 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 36. Решите уравнение: \(2{\cos ^2}\left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \sin \left( {\pi + x} \right) — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\,\, — \,\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad — \,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 37. Решите уравнение: \(\sin x — \dfrac{1}{{\sin x — 1}} = \dfrac{5}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 38. Решите уравнение: \(3\cos x + \dfrac{1}{{\cos x — 1}} = — \dfrac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \,\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\quad \, \pm \arccos \dfrac{1}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 39. Решите уравнение: \(2{\sin ^3}x — {\sin ^2}x — 2\sin x + 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 40. Решите уравнение: \(2{\cos ^3}x — {\cos ^2}x + 2\cos x — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 41. Решите уравнение: \({\text{t}}{{\text{g}}^3}x + {\text{t}}{{\text{g}}^2}x — 3{\text{tg}}\,x — 3 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad — \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 42. Решите уравнение: \(2{\cos ^3}x + \sqrt 3 {\cos ^2}x + 2\cos x + \sqrt 3 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)