Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного

Задача 1. Решите уравнение:    \(\sin x\left( {2\sin x — 1} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\,\,\,\,\,\frac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\) 
Задача 2. Решите уравнение:    \(\cos x\left( {2\cos x + \sqrt 2 } \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{2} + \pi k;\,\,\,\, \pm \,\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\) 
Задача 3. Решите уравнение:    \(\sqrt 2 {\sin ^2}x + \sin x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\,\,\,\,\, — \frac{\pi }{4} + 2\pi k;\quad \, — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z.\) 
Задача 4. Решите уравнение:    \(2{\cos ^2}x — \sqrt 3 \cos x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{2} + \pi k;\,\,\,\, \pm \,\frac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\) 
Задача 5. Решите уравнение:    \({\text{tg}}\,x\left( {{\text{tg}}\,x — 1} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\,\,\,\,\,\frac{\pi }{4} + \pi k;\quad \,k \in Z.\) 
Задача 6. Решите уравнение:    \({\text{ctg}}\,x\left( {{\text{ctg}}\,x + 1} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{2} + \pi k;\quad \, — \frac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 7. Решите уравнение:    \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x — \sqrt 3 {\text{tg}}\,x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\,\,\,\,\,\frac{\pi }{3} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)
Задача 8. Решите уравнение:    \({\text{3}}\,{\text{ct}}{{\text{g}}^2}x + \sqrt 3 \,{\text{ctg}}\,x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{2} + \pi k;\quad \, — \frac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 9. Решите уравнение:    \({\sin ^2}x — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{2} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)
Задача 10. Решите уравнение:    \({\cos ^2}x — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Задача 11. Решите уравнение:    \({\sin ^2}x = \frac{1}{4}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{\pi }{6} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)
Задача 12. Решите уравнение:    \({\cos ^2}x = \frac{1}{4}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{\pi }{3} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)
Задача 13. Решите уравнение:    \({\sin ^2}x = \frac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)
Задача 14. Решите уравнение:    \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)
Задача 15. Решите уравнение:    \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)
Задача 16. Решите уравнение:    \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}x = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)
Задача 17. Решите уравнение:    \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x = 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{\pi }{3} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)
Задача 18. Решите уравнение:    \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}x = 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{\pi }{6} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)
Задача 19. Решите уравнение:    \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x = \frac{1}{3}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{\pi }{6} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)
Задача 20. Решите уравнение:    \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}x = \frac{1}{3}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{\pi }{3} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)
Задача 21. Решите уравнение:    \(\left( {4{{\sin }^2}x — 3} \right)\,\left( {{\text{tg}}\,x + 1} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{\pi }{3} + \pi k;\quad  — \frac{\pi }{4} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)
Задача 22. Решите уравнение:    \(\left( {4{{\cos }^2}x — 3} \right)\,\left( {{\text{ctg}}\,x — 1} \right) = 0\)
Ответ
ОТВЕТ: \( \pm \frac{\pi }{6} + \pi k;\quad \frac{\pi }{4} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)
Задача 23. Решите уравнение:    \(2{\sin ^2}x + \sin x — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\,\,\,\frac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\) 

Задача 24. Решите уравнение:    \(2{\cos ^2}x — \cos x — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\pi k;\quad \, \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 25. Решите уравнение:    \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x + 3{\text{tg}}\,x — 4 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\,\frac{\pi }{4} + \pi k;\quad \, — {\text{arctg}}4 + \pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 26. Решите уравнение:    \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}x — 3{\text{ctg}}\,x + 2 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\,\frac{\pi }{4} + \pi k;\quad \,{\text{arcctg}}\,{\text{2}} + \pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 27. Решите уравнение:    \(2{\cos ^2}\frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\pi  + 4\pi k;\quad  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 4\pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 28. Решите уравнение:    \(4\operatorname{ctg} 2x + {\operatorname{ctg} ^2}2x — 5 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{8} + \frac{{\pi \,k}}{2};\,\,\,\, — \frac{1}{2}{\text{arcctg}}\,5 + \frac{{\pi \,k}}{2};\quad k \in Z.\)
Задача 29. Решите уравнение:    \(3{\sin ^2}2x + 10\sin 2x + 3 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3} + \pi k;\quad \frac{\pi }{2} + \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3} + \pi k;\quad k \in Z.\) 

Задача 30. Решите уравнение:    \(2{\cos ^2}3x — 5\cos 3x — 3 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{2\pi k}}{3};\quad k \in Z.\)
Задача 31. Решите уравнение:    \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right){\text{tg}}\,x{\text{ + }}\sqrt 3  = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\,\, — \frac{\pi }{3} + \pi k;\;\;k \in Z.\)
Задача 32. Решите уравнение:    \({\text{ct}}{{\text{g}}^2}x — \left( {1 + \sqrt 3 } \right){\text{ctg}}\,x{\text{ + }}\sqrt 3  = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\,\,\frac{\pi }{6} + \pi k;\;\;k \in Z.\) 

Задача 33. Решите уравнение:    \(4{\cos ^4}x — 4{\cos ^2}x + 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2};\;\;k \in Z.\)
Задача 34. Решите уравнение:    \(8{\sin ^4}x — 10{\sin ^2}x + 3 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\,\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2};\quad \, \pm \frac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 35. Решите уравнение:    \({\cos ^2}\left( {\pi  + x} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) — 2 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 36. Решите уравнение:    \(2{\cos ^2}\left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \sin \left( {\pi  + x} \right) — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\,\, — \,\frac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad  — \,\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 37. Решите уравнение:    \(\sin x — \frac{1}{{\sin x — 1}} = \frac{5}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 38. Решите уравнение:    \(3\cos x + \frac{1}{{\cos x — 1}} =  — \frac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \,\frac{\pi }{3} + 2\pi k;\quad \, \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 39. Решите уравнение:    \(2{\sin ^3}x — {\sin ^2}x — 2\sin x + 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{2} + \pi k;\,\,\,\,\,\frac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 40. Решите уравнение:    \(2{\cos ^3}x — {\cos ^2}x + 2\cos x — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 41. Решите уравнение:    \({\text{t}}{{\text{g}}^3}x + {\text{t}}{{\text{g}}^2}x — 3{\text{tg}}\,x — 3 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{\pi }{3} + \pi k;\quad  — \frac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\)
Задача 42. Решите уравнение:    \(2{\cos ^3}x + \sqrt 3 {\cos ^2}x + 2\cos x + \sqrt 3  = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)