Алгебра 10-11 класс. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 10-11 класс. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений

Задача 1. Решите уравнение: \(2{\cos ^2}x = 3\sin x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 2. Решите уравнение: \(2{\sin ^2}x + 3\cos x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\, \pm \,\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 3. Решите уравнение: \(2{\sin ^2}x + 2\sin x + {\cos ^2}x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\, — \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 4. Решите уравнение: \({\cos ^2}x + 2\sin x — 2 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 5. Решите уравнение: \(2{\cos ^2}x + 1 = 2\sqrt 2 \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} — x} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\;\;\; — \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\;\;\;k \in Z.\)

Задача 6. Решите уравнение: \(2{\sin ^2}x = 3\sqrt 2 \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} — x} \right) + 4\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\;\;\;k \in Z.\)

Задача 7. Решите уравнение: \({\text{ctg}}\,x — 2\,{\text{tg}}\,x + 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad — {\text{arctg}}\dfrac{1}{2} + \pi k;\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 8. Решите уравнение: \({\text{2}}\,{\text{ctg}}\,x — 3\,{\text{tg}}\,x + 5 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\text{arctg}}\,{\text{2}} + \pi k;\quad — {\text{arctg}}\dfrac{1}{3} + \pi k;\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 9. Решите уравнение: \(\dfrac{{{\text{tg}}\,x + 5}}{3} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad — {\text{arctg}}\dfrac{2}{3} + \pi k;\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 10. Решите уравнение: \(\dfrac{{{\text{3}}\,{\text{ctg}}\,x + 1}}{2} = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad {\text{arcctg}}\dfrac{1}{2} + \pi k;\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 11. Решите уравнение: \(\sin 2x\cos 3x + \cos 2x\sin 3x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{\pi k}}{5};\quad \,k \in Z.\)

Задача 12. Решите уравнение: \(\sin 5x\cos 4x — \cos 5x\sin 4x = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 13. Решите уравнение: \(\cos 5x\cos 3x + \sin 5x\sin 3x = \dfrac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\, \pm \,\dfrac{\pi }{6} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 14. Решите уравнение: \(\cos x\cos 2x — \sin x\sin 2x = — \dfrac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\, \pm \,\dfrac{{2\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3};\quad \,k \in Z.\)

Задача 15. Решите уравнение: \(\sqrt 2 \,\cos \left( {\dfrac{\pi }{4} + 2x} \right) — \cos 2x = \dfrac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{{12}} + \pi k;\;\;\; — \dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi k;\;\;\;k \in Z.\)

Задача 16. Решите уравнение: \(\sqrt 2 \,\sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{x}{2}} \right) — \sin \dfrac{x}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\, \pm \,\dfrac{\pi }{2} + 4\pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 17. Решите уравнение: \(\dfrac{{{\text{tg}}\,2x + {\text{tg}}\,x}}{{1 — {\text{tg}}\,2x\,{\text{tg}}\,x}} = \sqrt 3 \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{\pi k}}{3};\quad \,k \in Z.\)

Задача 18. Решите уравнение: \(\dfrac{{{\text{ctg}}\,6x\,\,{\text{ctg}}\,4x + 1}}{{{\text{ctg}}\,4x\, — {\text{ctg}}\,6x}} = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad \,k \in Z.\)

Задача 19. Решите уравнение: \(\sin x\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{6} + \pi k;\quad \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 20. Решите уравнение: \(\sin 3x\cos 3x = \dfrac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{\pi k}}{3};\quad \,k \in Z.\)

Задача 21. Решите уравнение: \({\cos ^2}x — {\sin ^2}x = — \dfrac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 22. Решите уравнение: \({\sin ^2}\dfrac{x}{2} — {\cos ^2}\dfrac{x}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 23. Решите уравнение: \(\sin 2x — \sqrt 3 \sin x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\,\,\,\,\, \pm \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 24. Решите уравнение: \(\sin 2x + \sqrt 2 \cos x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\quad \, — \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\quad — \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 25. Решите уравнение: \(\cos 2x + 3\sin x = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 26. Решите уравнение: \(\cos 2x — 3\cos x + 2 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\, \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\quad \,{\text{2}}\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 27. Решите уравнение: \(2\cos 2x + 4\sqrt 3 \cos x — 7 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 28. Решите уравнение: \(\cos 2x — 5\sqrt 2 \cos x — 5 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 29. Решите уравнение: \(\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + 2x} \right) = \sqrt 2 \sin x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\quad \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 30. Решите уравнение: \(\cos 2x — \sqrt 2 \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right) — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad — \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\quad \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 31. Решите уравнение: \(2\cos 2x + 4\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} — x} \right) + 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\;\,\,\;\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 32. Решите уравнение: \(\cos 2x = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\pi k;\;\,\,\; \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 33. Решите уравнение: \(\sin x + 2\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 \sin 2x + 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\,\,\,\,\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 34. Решите уравнение: \(2{\sin ^2}x + \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \cos x\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad — \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\,\,\,\,\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 35. Решите уравнение: \(8{\sin ^2}\left( {\dfrac{{7\pi }}{{12}} + x} \right) — 2\sqrt 3 \cos 2x = 5\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{{12}} + \pi k;\;\;\; — \dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi k;\;\;\;k \in Z.\)

Задача 36. Решите уравнение: \(\sqrt 2 \sin 2x + 4{\cos ^2}\left( {\dfrac{{3\pi }}{8} + x} \right) = 2 + \sqrt 2 \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\;\;\;k \in Z.\)

Задача 37. Решите уравнение: \(\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \cos x + \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right)\,\,\sin x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\;\;\;\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\;\;\;k \in Z.\)

Задача 38. Решите уравнение: \(\sin \left( {2x — \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos x + \cos \left( {x — \dfrac{\pi }{3}} \right)\,\,\sin x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\;\;\;\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\;\;\;k \in Z.\)

Задача 39. Решите уравнение: \(2{\sin ^4}x + 3\cos 2x + 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 40. Решите уравнение: \(4{\sin ^4}2x + 3\cos 4x — 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{4};\quad k \in Z.\)

Задача 41. Решите уравнение: \(\sin 2x = 2\sin x + \sin \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) + 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\pi k;\quad — \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad — \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 42. Решите уравнение: \(\sin 2x + 2\cos \left( {x — \dfrac{\pi }{2}} \right) = \sqrt 3 \cos x + \sqrt 3 \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi + 2\pi k;\quad \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\quad \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 43. Решите уравнение: \(\cos 4x + 6{\sin ^2}x = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\;\,\,\; \pm \dfrac{\pi }{6} + \pi k;\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 44. Решите уравнение: \(\cos 4x + 6{\cos ^2}x = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\;\,\,\; \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 45. Решите уравнение: \(\sin x + \sin 3x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{\pi k}}{2};\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 46. Решите уравнение: \(\cos x + \cos 7x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{4};\;\,\,\;\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{\pi k}}{3};\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 47. Решите уравнение: \(\sin 5x — \sin 2x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{2\pi k}}{3};\;\,\,\;\dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{2\pi k}}{7};\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 48. Решите уравнение: \(\cos 6x — \cos 4x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{\pi k}}{5};\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 49. Решите уравнение: \(\sin 2x + \sin 6x = \sin 4x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{\pi k}}{4};\;\,\,\; \pm \dfrac{\pi }{6} + \pi k;\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 50. Решите уравнение: \(\cos 8x — \cos 2x = 2\sin 5x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{\pi k}}{5};\;\,\,\; — \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{2\pi k}}{3};\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 51. Решите уравнение: \(\sin 3x = \cos 2x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{2\pi k}}{5};\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 52. Решите уравнение: \(\cos 5x = \sin 15x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{{40}} + \dfrac{{\pi k}}{{10}};\;\,\,\;\dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{\pi k}}{5};\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 53. Решите уравнение: \({\sin ^2}4x = {\sin ^2}6x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{\pi k}}{{10}};\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 54. Решите уравнение: \({\cos ^2}x = {\cos ^2}5x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{\pi k}}{6};\;\,\,\;\dfrac{{\pi k}}{4};\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 55. Решите уравнение: \(1 + \cos 2x = 2{\sin ^2}3x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{4};\;\,\,\;\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 56. Решите уравнение: \(2{\sin ^2}x + \cos 8x = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{\pi k}}{5};\;\,\,\;\dfrac{{\pi k}}{3};\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 57. Решите уравнение: \(2{\sin ^2}4x — 1 = {\cos ^2}x — {\sin ^2}x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{\pi k}}{5};\;\,\,\;\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{\pi k}}{3};\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 58. Решите уравнение: \({\cos ^2}\dfrac{x}{2} — 2{\cos ^2}\dfrac{{5x}}{2} — {\sin ^2}\dfrac{x}{2} + 1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{\pi k}}{3};\;\,\,\;\dfrac{{\pi k}}{2};\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 59. Решите уравнение: \(\sin 3x\cos x = \sin \dfrac{{5x}}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\;\,\,\; \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 60. Решите уравнение: \(\cos 2x\,\,\cos x = \cos 2,5x\,\,\cos 0,5x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\pi k;\;\,\,\; \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)