Алгебра 10-11 класс. Однородные тригонометрические уравнения

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 10-11 класс. Однородные тригонометрические уравнения

Задача 1. Решите уравнение: \(\sin x — \cos x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 2. Решите уравнение: \(\sin x + \cos x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 3. Решите уравнение: \(\sin x — \sqrt 3 \cos x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 4. Решите уравнение: \(\sqrt 3 \sin x + \cos x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{6} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 5. Решите уравнение: \(2\sin x — 3\cos x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\text{arctg}}\,\dfrac{3}{2} + \pi k;\;\;\;k \in Z.\)

Задача 6. Решите уравнение: \(4\cos x + 5\sin x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \,{\text{arctg}}\,\dfrac{4}{5} + \pi k;\;\;\;k \in Z.\)

Задача 7. Решите уравнение: \(\sin 3x — \cos 3x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{\pi k}}{3};\quad \,k \in Z.\)

Задача 8. Решите уравнение: \(\sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{{15}} + \dfrac{{\pi k}}{5};\quad \,k \in Z.\)

Задача 9. Решите уравнение: \(\sin 2x + 4\cos 2x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{1}{2}{\text{arctg}}\,{\text{4}} + \dfrac{{\pi k}}{2};\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 10. Решите уравнение: \(2\sin 6x — 3\cos 6x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{1}{6}{\text{arctg}}\,\dfrac{3}{2} + \dfrac{{\pi k}}{6};\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 11. Решите уравнение: \({\sin ^2}x — \sin x\cos x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi k;\quad \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 12. Решите уравнение: \(\sqrt 3 {\cos ^2}x = \cos x\sin x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\quad \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad \,k \in Z.\)

Задача 13. Решите уравнение: \({\sin ^2}3x = \sin 3x\cos 3x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{\pi k}}{3};\quad \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{\pi k}}{3};\quad \,k \in Z.\)

Задача 14. Решите уравнение: \({\cos ^2}5x — 2\cos 5x\sin 5x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{\pi k}}{5};\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{5}{\text{arctg}}\,\dfrac{1}{2} + \dfrac{{\pi k}}{5};\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 15. Решите уравнение: \({\sin ^2}x + 3\sin x\cos x — 4{\cos ^2}x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\,\,\,\, — {\text{arctg}}\,\,4 + \pi k;\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 16. Решите уравнение: \(2{\sin ^2}x — \sin x\cos x — 3{\cos ^2}x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\,\,\,\,{\text{arctg}}\,\dfrac{3}{2} + \pi k;\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 17. Решите уравнение: \({\sin ^2}x = 3{\cos ^2}x\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 18. Решите уравнение: \(3{\sin ^2}x = {\cos ^2}x\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{6} + \pi k;\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 19. Решите уравнение: \({\sin ^2}4x = 3{\cos ^2}4x\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{\pi k}}{4};\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 20. Решите уравнение: \(3{\sin ^2}3x = {\cos ^2}3x\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{\pi k}}{3};\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 21. Решите уравнение: \(2{\sin ^2}2x — 3\sin 2x\cos 2x + {\cos ^2}2x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{2};\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{2}{\text{arctg}}\,\dfrac{1}{2} + \dfrac{{\pi k}}{2};\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 22. Решите уравнение: \(3{\sin ^2}\dfrac{x}{4} + 2\sin \dfrac{x}{4}\cos \dfrac{x}{4} — 5{\cos ^2}\dfrac{x}{4} = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi + 4\pi k;\,\,\,\,\,\, — 4\,{\text{arctg}}\,\dfrac{5}{3} + 4\pi k;\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Задача 23. Решите уравнение: \(5{\sin ^2}x — 14\sin x\;\cos x — 3{\cos ^2}x = 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\text{arctg}}\,{\text{5 + }}\pi k;\quad — {\text{arctg}}\dfrac{1}{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 24. Решите уравнение: \(4{\sin ^2}x — 2\sin x\;\cos x = 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\text{arctg}}\,{\text{3}}\,{\text{ + }}\,\pi k;\;\; — \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\;\,\;k \in Z.\)

Задача 25. Решите уравнение: \(5{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\;\cos x + 6{\cos ^2}x = 5\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{6} + \pi k;\;\;\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\;\;k \in Z.\)

Задача 26. Решите уравнение: \(2{\sin ^2}x — 3\sin x\;\cos x + 4{\cos ^2}x = 4\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — {\text{arctg}}\dfrac{{\text{3}}}{2}{\text{ + }}\pi k;\quad \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 27. Решите уравнение: \(3{\sin ^2}2x — 2 = \sin 2x\;\cos 2x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{1}{2}{\text{arctg}}\,{\text{2 + }}\dfrac{{\pi k}}{2};\quad — \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)

Задача 28. Решите уравнение: \(3{\sin ^2}\dfrac{x}{3} + 4{\cos ^2}\dfrac{x}{3} = 3 + \sqrt 3 \sin \dfrac{x}{3}\cos \dfrac{x}{3}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + 3\pi k;\quad \dfrac{{3\pi }}{2} + 3\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 29. Решите уравнение: \(\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + 2x} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} — 2x} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)

Задача 30. Решите уравнение: \(\sqrt 3 \sin \left({{\pi } — \dfrac{x}{3}} \right) + 3\sin\left( {\dfrac{\pi }{2} — \dfrac{x}{3}} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \pi + 3\pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 31. Решите уравнение: \({\cos ^2}\left( {\dfrac{\pi }{2} + x} \right) + 4\sin x\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} — x} \right) — 5{\cos ^2}\left( {3\pi + x} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\;\,\,\; — \,{\text{arctg}}\,5 + \pi k;\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 32. Решите уравнение: \({\sin ^2}3x + 5\sin \left( {3x + 3\pi } \right)\cos 3x + 6{\sin ^2}\left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + 3x} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{1}{3}{\text{arctg}}\,2 + \dfrac{{\pi k}}{3};\;\,\,\;\dfrac{1}{3}{\text{arctg}}\,3 + \dfrac{{\pi k}}{3};\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 33. Решите уравнение: \({\sin ^3}x — 7\sin x{\cos ^2}x — 6{\cos ^3}x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \,{\text{arctg}}\,2 + \pi k;\;\,\;{\text{arctg}}\,{\text{3}} + \pi k;\;\;\, — \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\;\,\;k \in Z.\)

Задача 34. Решите уравнение: \({\sin ^3}x + {\sin ^2}x\cos x — 10\sin x{\cos ^2}x + 8{\cos ^3}x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\text{arctg}}\,2 + \pi k;\;\;\,\; — {\text{arctg}}\,4 + \pi k;\,\,\,\;\;\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\;\,\,\,\;k \in Z.\)

Задача 35. Решите уравнение: \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin x — \cos x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\;\,\,\,\;k \in Z.\)

Задача 36. Решите уравнение: \(\sin x + 2{\sin ^2}x\cos x — 4{\cos ^3}x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\;\,\,\,\;k \in Z.\)

Задача 37. Решите уравнение: \({\cos ^2}x — \dfrac{1}{2}\sin 2x + \cos x = \sin x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi + 2\pi k;\quad \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 38. Решите уравнение: \(\dfrac{1}{2}\sin 2x + {\sin ^2}x — \sin x = \cos x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\quad — \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 39. Решите уравнение: \(\sin 2x — 2\sqrt 3 {\cos ^2}x — 4\sin x + 4\sqrt 3 \cos x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)

Задача 40. Решите уравнение: \(\sin 2x — 2\sqrt 3 {\sin ^2}x + 4\cos x — 4\sqrt 3 \sin x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{6} + \pi k;\quad k \in Z.\)