Алгебра 10-11 класс. Замена неизвестного t = sin x + cos x

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 10-11 класс. Замена неизвестного t = sin x + cos x

Задача 1. Решите уравнение: \(2\sin x\cos x + \sin x + \cos x = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\;\,\,\;2\pi k;\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 2. Решите уравнение: \(2\sin x\cos x — \sin x + \cos x = — 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\;\,\,\;\pi + 2\pi k;\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 3. Решите уравнение: \(\sin 2x + 3\sin x + 3\cos x = \dfrac{3}{4}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} — \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\;\,\,\;\dfrac{{3\pi }}{4} — \arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} + 2\pi k;\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 4. Решите уравнение: \(\sin 2x — 5\sin x — 5\cos x = — 3\dfrac{1}{4}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} — \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\,\,\,\,\,\dfrac{{3\pi }}{4} — \arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\)

Задача 5. Решите уравнение: \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin 2x + 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\;\;\,\,2\pi k;\;\,\;\,\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\;\;\,\,k \in Z.\)

Задача 6. Решите уравнение: \({\sin ^3}x — {\cos ^3}x = \sin 2x — 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\;\,\,\,\;2\pi k;\,\,\,\,\,\, — \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\;\;\,\,k \in Z.\)

Задача 7. Решите уравнение: \(\dfrac{{\sin x + \cos x — 1}}{{\sin x + \cos x — 2}} = \dfrac{{4\,\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{9 — 3\sin 2x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \dfrac{\pi }{4} + {\left( { — 1} \right)^k}\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{3} + \pi \,k;\;\,\,\;k \in Z.\)

Задача 8. Решите уравнение: \(\sin \,\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\,\left( {1 — \sin x\cos x} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\pi \,k;\;\,\,\,\,\dfrac{\pi }{2} + 2\pi \,k;\;\,\,\;k \in Z.\)