Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Иррациональные неравенства повышенной сложности

Задача 1. Решите неравенство    \(\sqrt {5 — {x^2}}  < x — 1\) 

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {2;\;\sqrt 5 } \right].\)
Задача 2. Решите неравенство    \(\sqrt {4x + {x^2}}  < 4 — x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 4} \right] \cup \left[ {0;\;\frac{4}{3}} \right).\)
Задача 3. Решите неравенство    \(\sqrt {11 — 5x}  > x — 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;2} \right).\)
Задача 4. Решите неравенство    \(4 — x < \sqrt {{x^2} — 2x} \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{8}{3};\;\infty } \right).\)
Задача 5. Решите неравенство    \(\sqrt {\frac{{{x^2} — 6}}{x}}  \leqslant \sqrt 5 \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — \sqrt 6 ;\; — 1} \right] \cup \left[ {\sqrt 6 ;\;6} \right].\)
Задача 6. Решите неравенство    \(\sqrt {1 — x}  \leqslant \sqrt[4]{{x + 5}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 1;\;1} \right].\)
Задача 7. Решите неравенство    \(\frac{{x + 2\sqrt x  — 3}}{{x — 2\sqrt x  — 3}} > 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;1} \right) \cup \left( {9;\;\infty } \right).\)
Задача 8. Решите неравенство    \(\frac{{x + \sqrt x  — 2}}{{x — \sqrt x  — 2}} < 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\;4} \right).\)
Задача 9. Решите неравенство    \(\frac{{\sqrt {6 + 4x — {x^2}}  — 4 + x}}{{{x^2} — 2x}} \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;1} \right] \cup \left( {2;\;2 + \sqrt {10} } \right].\)
Задача 10. Решите неравенство    \(\frac{{\sqrt {2x — 1} }}{{x — 2}} > 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {2;\;5} \right).\)
Задача 11. Решите неравенство    \(\frac{1}{{\sqrt {3 — x} }} > \frac{1}{{x — 2}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;2} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};\;3} \right).\)
Задача 12. Решите неравенство    \(\frac{{2x + 3}}{{\sqrt {6{x^2} + 7x — 3} }} \geqslant 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{3};\;\frac{7}{{10}}} \right].\)
Задача 13. Решите неравенство    \(\frac{{\sqrt {2{x^2} + 7x — 4} }}{{x + 4}} < \frac{1}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 4} \right) \cup \left[ {\frac{1}{2};\;\frac{8}{7}} \right).\)
Задача 14. Решите неравенство    \(\frac{{1 — \sqrt {1 — 4{x^2}} }}{x} < 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — \frac{1}{2};\;0} \right) \cup \left( {0;\;\frac{1}{2}} \right].\)
Задача 15. Решите неравенство    \(\frac{{1 — \sqrt {1 — 8{x^2}} }}{{2x}} < 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — \frac{1}{{2\sqrt 2 }};\;0} \right) \cup \left( {0;\;\frac{1}{3}} \right).\)
Задача 16. Решите неравенство    \(\frac{{\sqrt {12 — x — {x^2}} }}{{2x — 7}} \leqslant \frac{{\sqrt {12 — x — {x^2}} }}{{x — 5}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ { — 4} \right\} \cup \left[ {2;\;3} \right].\)
Задача 17. Решите неравенство    \(\frac{{2\sqrt {x + 3} }}{{x + 1}} \leqslant \frac{{3\sqrt {x + 3} }}{{x + 2}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ { — 3} \right\} \cup \left( { — 2;\; — 1} \right) \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)
Задача 18. Решите неравенство    \(\left( {x — 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2}  > {x^2} — 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{2};\;1} \right).\)
Задача 19. Решите неравенство    \(\left( {x — 3} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  \leqslant {x^2} — 9\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — \frac{5}{6}} \right] \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)
Задача 20. Решите неравенство    \(\frac{{\sqrt {1 — {x^3}}  — 1}}{{1 + x}} \leqslant x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 2;\; — 1} \right) \cup \left[ {0;\;1} \right].\)
Задача 21. Решите неравенство    \(\frac{{4{x^2} — 9}}{{\sqrt {3{x^2} — 3} }} \leqslant \frac{2}{3}x + 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — \frac{3}{2};\; — 1} \right) \cup \left( {1;\;2} \right].\)
Задача 22. Решите неравенство    \(\frac{4}{{\sqrt {2 — x} }} — \sqrt {2 — x}  < 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;2\sqrt 5  — 4} \right).\)
Задача 23. Решите неравенство    \({x^2} + \sqrt {{x^2} — 3x + 5}  > 3x + 7\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 1} \right) \cup \left( {4;\;\infty } \right).\)
Задача 24. Решите неравенство    \(\sqrt {{x^2} — x + 1}  < {\left( {x — 1} \right)^2} + {x^2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\)
Задача 25. Решите неравенство    \(\left( {2x + 1 — \frac{6}{x}} \right)\left( {\frac{{28}}{{x + 2}} — 2 + {{\left( {\sqrt { — 3 — 2x} } \right)}^2}} \right) \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 6;\; — 2} \right) \cup \left( { — 2;\; — \frac{3}{2}} \right].\)
Задача 26. Решите неравенство  \(\left( {x + \frac{3}{x}} \right){\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} — 6x + 9}  — 1}}{{\sqrt {5 — x}  — 1}}} \right)^2} \geqslant 4{\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} — 6x + 9}  — 1}}{{\sqrt {5 — x}  — 1}}} \right)^2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;1} \right] \cup \left\{ 2 \right\} \cup \left[ {3;\;4} \right) \cup \left( {4;\;5} \right].\)
Задача 27. Решите неравенство    \(\sqrt {7 — x}  < \frac{{\sqrt {{x^3} — 6{x^2} + 14x — 7} }}{{\sqrt {x — 1} }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\;2} \right) \cup \left( {3;\;7} \right].\)
Задача 28. Решите неравенство    \(\frac{1}{{6{x^2} — 5x}} \geqslant \frac{1}{{\sqrt {6{x^2} — 5x + 1}  — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{2};\;\frac{5}{6}} \right).\)
Задача 29. Решите неравенство    \(\left( {\frac{1}{{{x^2} — 7x + 12}} + \frac{{x — 4}}{{3 — x}}} \right)\sqrt {6x — {x^2}}  \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;3} \right) \cup \left( {3;\;4} \right) \cup \left[ {5;\;6} \right].\)
Задача 30. Решите неравенство    \(\sqrt {x — 1}  — \sqrt {14 — x}  \geqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {10;\;14} \right].\)
Задача 31. Решите неравенство    \(\sqrt {2x — 13}  — \sqrt {39 — 2x}  \geqslant \sqrt 2 \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{{31}}{2};\;\frac{{39}}{2}} \right].\)
Задача 32. Решите неравенство    \(x — \sqrt {1 — \left| x \right|}  < 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 1;\;\frac{{\sqrt 5  — 1}}{2}} \right).\)
Задача 33. Решите неравенство    \(\sqrt {3 — \left| {x + 3} \right|}  > x + 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 6;\; — 1} \right).\)
Задача 34. Решите неравенство    \(\frac{{\left| {{x^2} — 2x — 6} \right| — \left| {{x^2} — 6} \right|}}{{\sqrt {6 — x — {x^2}} }} \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 3;\; — 2} \right] \cup \left[ {0;\;2} \right).\)
Задача 35. Решите неравенство    \(\sqrt {9 — {x^2}}  + \frac{{\left| x \right|}}{x} \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 2\sqrt 2 ;\;0} \right) \cup \left( {0;\;3} \right].\)
Задача 36. Решите неравенство    \(\sqrt {3 — x}  > \left| {x + 3} \right|\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 6;\; — 1} \right).\)
Задача 37. Решите неравенство    \(\left| {x — 6} \right| \leqslant 15 — 3\sqrt {x + 9} \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ { — 9} \right\} \cup \left[ {0;\;\frac{{51 — 3\sqrt {129} }}{2}} \right].\)
Задача 38. Решите неравенство    \(\sqrt {x — 2\sqrt {x — 1} }  \leqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {1;\;5} \right].\)
Задача 39. Решите неравенство    \(2\sqrt {\frac{{x — 2}}{{x — 3}}}  — \sqrt {\frac{{x — 3}}{{x — 2}}}  < \frac{7}{{\sqrt {\left( {x — 2} \right)\left( {x — 3} \right)} }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 6;2} \right) \cup \left( {3;8} \right).\)
Задача 40. Решите неравенство    \(4\sqrt {\frac{{x + 2}}{{x + 3}}}  + \sqrt {\frac{{x + 3}}{{x + 2}}}  > \frac{9}{{\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 4} \right) \cup \left( { — 0,4;\infty } \right).\)
Задача 41. Решите неравенство    \(\sqrt {x + 5 — 4\sqrt {x + 1} }  + \sqrt {x + 10 — 6\sqrt {x + 1} }  — 1 > 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 1;\;3} \right) \cup \left( {8;\;\infty } \right).\)