| Задача 51. Упростите выражение \({\left( {\left( {\frac{{{2^{\frac{3}{2}}} + 27\,{a^{\frac{3}{5}}}}}{{\sqrt 2 + 3\,\sqrt[5]{a}}} + 3\,\sqrt[{10}]{{32\,{a^2}}} — 2} \right)\,{3^{ — 2}}} \right)^5}\)
|
| Задача 52. Упростите выражение \(\sqrt[n]{{{y^{\frac{{2n}}{{m — n}}}}}}\,:\,\sqrt[m]{{{y^{\frac{{{{\left( {m — n} \right)}^2} + 4mn}}{{{m^2} — {n^2}}}}}}}\)
|
| Задача 53. Упростите выражение \(\sqrt[6]{{4x\,\left( {11 + 4\sqrt 6 } \right)}} \cdot \sqrt[3]{{4\sqrt {2x} — 2\sqrt {3x} }}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\sqrt[3]{{20x}}\).
|
| Задача 54. Упростите выражение \(\frac{{{{\left( {{m^2} — {n^{ — 2}}} \right)}^m}{{\left( {n + {m^{ — 1}}} \right)}^{n — m}}}}{{{{\left( {{n^2} — {m^{ — 2}}} \right)}^n}{{\left( {m — {n^{ — 1}}} \right)}^{m — n}}}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \({\left( {\frac{m}{n}} \right)^{m + n}}\).
|
| Задача 55. Упростите выражение \(\frac{{{m^3} + {n^3}}}{{n\,{m^{ — 1}} + m\,{n^{ — 1}} — 1}} — {n^2}m\)
|
| Задача 56. Упростите выражение \(\frac{{\sqrt {1 — {x^2}} — 1}}{x}\,\left( {\frac{{1 — x}}{{\sqrt {1 — {x^2}} + x — 1}} + \frac{{\sqrt {1 + x} }}{{\sqrt {1 + x} — \sqrt {1 — x} }}} \right)\)
|
| Задача 57. Упростите выражение \(\frac{{\sqrt[4]{{{a^5}}} + \sqrt[4]{{a{b^4}}} — \sqrt[4]{{{a^4}b}} — \sqrt[4]{{{b^5}}}}}{{\sqrt a — \sqrt b }} \cdot \left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\)
|
| Задача 58. Упростите выражение \(\frac{{4 — {a^2}}}{{2 + a + \sqrt {8a} }} \cdot \frac{{\sqrt a + \sqrt 2 }}{{\sqrt a — \sqrt 2 }}\)
Ответ
ОТВЕТ: \( — \left( {a + 2} \right)\).
|
| Задача 59. Упростите выражение \(\frac{{a + {b^2}}}{{a — b\,\sqrt { — a} }}:{\left( {\sqrt { — a} } \right)^{ — 1}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\sqrt { — a} — b\).
|
| Задача 60. Упростите выражение \(\frac{{{a^2} + 4}}{{a\,\,\sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2} — 4}}{{2a}}} \right)}^2} + 4} }}\)
Ответ
ОТВЕТ: -2, если \(a \in \left( { — \infty ;\,0} \right);\) 2, если \(a \in \left( {0; + \infty } \right)\)
|
| Задача 61. Упростите выражение \(\frac{{\frac{{\left| {\,b — 1} \right|}}{b} + b\,\left| {\,b — 1\,} \right| + 2 — \frac{2}{b}}}{{\sqrt {b — 2 + \frac{1}{b}} }}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{{{b^2} — 1}}{{\sqrt b }},\) если \(b \in \left( {0;\,1} \right);\) \(\frac{{{b^2} + 3}}{{\sqrt b }},\) если \(b \in \left( {1; + \infty } \right)\)
|
| Задача 62. Упростите выражение \(\left( {a + \frac{2}{{1 + 0,5a}}} \right):\frac{{{a^3} — 8}}{{a + 2}} + \frac{2}{{2a — {a^2}}}\)
|
| Задача 63. Упростите выражение \(\frac{{{a^3} + {a^2} — 2a}}{{a\,\left| {\,a + 2\,} \right| — {a^2} + 4}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \( — \frac{a}{2},\) если \(a \in \left( { — \infty ; — 2} \right);\) \(\frac{{a\left( {a — 1} \right)}}{2}{\text{,}}\) если \(a \in \left( { — 2; + \infty } \right)\)
|
| Задача 64. Упростите выражение \(\frac{{\sqrt {x — 2\sqrt {x — 1} } }}{{\sqrt {x — 1} — 1}}\)
Ответ
ОТВЕТ: -1, если \(x \in \left[ {1;\,2} \right);\) 1, если \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
|
| Задача 65. Упростите выражение \(\frac{{x\,\left| {\,x — 3\,} \right| + {x^2} — 9}}{{2{x^3} — 3{x^2} — 9x}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{3}{{x\left( {2x + 3} \right)}},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — \frac{3}{2}} \right) \cup \left( { — \frac{3}{2};0} \right) \cup \left( {0;3} \right);\) \(\frac{1}{x},\) если \({\text{ }}\;x \in \left( {3; + \infty } \right)\)
|
| Задача 66. Упростите выражение \(\frac{{{x^2} — 1 + \left| {\,x + 1\,} \right|}}{{\left| {\,x\,} \right|\,\left( {x — 2} \right)}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \( — \frac{{x + 1}}{x},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right);\) \(\frac{{x + 1}}{{2 — x}},\) если \(x \in \left[ { — 1;0} \right);\) \(\frac{{x + 1}}{{x — 2}},\) если \(x \in \left( {0;\,2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)
|
| Задача 67. Упростите выражение \(\frac{{\sqrt {4x + 4 + {x^{ — 1}}} }}{{\sqrt x \,\left| {\,2{x^2} — x — 1\,} \right|}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{1}{{x — {x^2}}},\) если \(x \in \left( {0;\,1} \right);\) \(\frac{1}{{{x^2} — x}},\) если \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
|
| Задача 68. Упростите выражение \(\frac{{\left| {\,{x^2} — 1\,} \right| + {x^2}}}{{2{x^2} — 1}} — \frac{{\left| {\,x — 1\,} \right|}}{{x — 1}}\)
Ответ
ОТВЕТ: 2, если \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right);\) \(\frac{{2{x^2}}}{{2{x^2} — 1}},\) если \(x \in \left[ { — 1; — \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( { — \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,1} \right);\) 0, если \(x \in \left( {1; + \infty } \right).\)
|
| Задача 69. Упростите выражение \(\frac{{\sqrt {2b + 2\sqrt {{b^2} — 4} } }}{{\sqrt {{b^2} — 4} + b + 2}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{1}{{\sqrt {b + 2} }}\).
|
| Задача 70. Упростите выражение \(\frac{{\sqrt {x — 4\sqrt {x — 4} } + 2}}{{\sqrt {x + 4\sqrt {x — 4} } — 2}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{4}{{\sqrt {x — 4} }} — 1,\) если \(x \in \left( {4;\,8} \right);\) 1, если \(x \in \left[ {8; + \infty } \right).\)
|
| Задача 71. Упростите выражение \(\frac{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{{x^2} — 1}}{{2x}}} \right)}^2}} }}{{\left( {{x^2} + 1} \right) \cdot {x^{ — 1}}}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \( — \frac{1}{2},\) если \(x \in \left( { — \infty ;\,0} \right);\) \(\frac{1}{2},\) если \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\)
|
| Задача 72. Упростите выражение \(\frac{{\sqrt {{{\left( {3x + 2} \right)}^2} — 24x} }}{{3\sqrt x — \frac{2}{{\sqrt x }}}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \( — \sqrt x ,\) если \(x \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right);\) \(\sqrt x ,\) если \(x \in \left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\)
|
| Задача 73. Упростите выражение \(\sqrt {\frac{x}{{2 + x + {x^{ — 1}}}}} + \left| {\,x — 1\,} \right|\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{{1 + x — {x^2}}}{{x + 1}},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right) \cup \left( {0;\,1} \right);\) \(\frac{{1 — x — {x^2}}}{{x + 1}},\) если \(x \in \left( { — 1;\,0} \right);\) \(\frac{{{x^2} + x — 1}}{{x + 1}},\) если \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\).
|
| Задача 74. Упростите выражение \(\frac{{\left( {x — 1} \right)\,\sqrt {{{\left( {x — 1} \right)}^2} + 4x} }}{{{x^2} + 1 + 2\,\left| {\,x\,} \right|}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{{x + 1}}{{1 — x}},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right);\) \(\frac{{x + 1}}{{x — 1}},\) если \(x \in \left[ { — 1;\,0} \right);\) \(\frac{{x — 1}}{{x + 1}},\) если \(x \in \left[ {0; + \infty } \right)\).
|
| Задача 75. Упростите выражение \(\sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2} — 4}}{{2x}}} \right)}^2} + 4} + \sqrt {1 + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{4}{x}} \)
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{{2 — x}}{2},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 2} \right);\) \( — \frac{{{x^2} + 2x + 8}}{{2x}},\) если \(x \in \left[ { — 2;\,0} \right);\) \(\frac{{{x^2} + 2x + 8}}{{2x}},\) если \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
|
| Задача 76. Упростите выражение \(\frac{{\left( {x + 2} \right)\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} — 8x} }}{{{x^2} — 4\,\left| {\,x — 1\,} \right|}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{{4 — {x^2}}}{{{x^2} + 4x — 4}},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 2 — 2\sqrt 2 } \right) \cup \left( { — 2 — 2\sqrt 2 ; — 2 + 2\sqrt 2 } \right) \cup \left( { — 2 + 2\sqrt 2 ;\,1} \right);\) \(\frac{{x + 2}}{{2 — x}},\) если \(x \in \left[ {1;\,2} \right);\) \(\frac{{x + 2}}{{x — 2}},\) если \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
|
| Задача 77. Упростите выражение \(\left| {\,\frac{{\left| {\,x — 2\,} \right| + 4}}{{x — 2}}\,} \right|\,\left( {{x^2} — 4} \right)\)
Ответ
ОТВЕТ: \({x^2} — 4x — 12,\) если \(x \in \left( { — \infty ;\,2} \right);\) \({\left( {x + 2} \right)^2},\) если \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
|
| Задача 78. Упростите выражение \(\frac{{\left| {\,\left| {\,x\,} \right| — 1\,} \right| \cdot \left| {\,x\,} \right|}}{{{x^2} — 1}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{x}{{x — 1}},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right);\) \(\frac{x}{{1 — x}},\) если \(x \in \left( { — 1;\,0} \right);\) \(\; — \frac{x}{{x + 1}},\) если \(x \in \left[ {0;\,1} \right);\) \(\frac{x}{{x + 1}},\) если \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
|
| Задача 79. Упростите выражение \(x\,\sqrt[3]{{2x\sqrt {xy} — x\sqrt {3xy} }} \cdot \sqrt[6]{{{x^3}y\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \({x^2}\,\left| {\,\sqrt[3]{y}\,} \right|\).
|
| Задача 80. Упростите выражение \(\frac{{\sqrt {x — 2\sqrt {x + 3} + 4} }}{{{x^{\frac{1}{2}}} — {{\left( {x — 3} \right)}^{\frac{1}{2}}} — \sqrt {3x + {x^2}} + \sqrt {{x^2} — 9} }} — \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {x — 3} }}\)
Ответ
ОТВЕТ: \( — \frac{{2\sqrt x }}{3}\).
|
| Задача 81. Найдите \(f\left( {x + 1} \right) — f\left( {x + \frac{4}{3}} \right)\), если \(f\left( x \right) = \frac{{3x + 2}}{{6x — 7}}\).
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{{11}}{{36{x^2} — 1}}\).
|
| Задача 82. Найдите \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) + f\left( {\frac{x}{9}} \right)\), если \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{3x — 1}}\).
Ответ
ОТВЕТ: \( — \frac{1}{3}\).
|
| Задача 83. Найдите \(10p\left( a \right) — 60a — 4\), если \(p\left( a \right) = 6a — 2\).
|
| Задача 84. Найдите \(5p\left( a \right) — 45a — 9\), если \(p\left( a \right) = 9a + 3\).
|
| Задача 85. Найдите \(\frac{{p\left( b \right)}}{{p\left( {\frac{1}{b}} \right)}}\), если \(p\left( b \right) = \left( {b — \frac{7}{b}} \right)\left( { — 7b + \frac{1}{b}} \right)\) при \(b \ne 0\)
|
| Задача 86. Найдите \(\frac{{p\left( b \right)}}{{p\left( {\frac{1}{b}} \right)}}\), если \(p\left( b \right) = \left( {b — \frac{{10}}{b}} \right)\left( { — 10b + \frac{1}{b}} \right)\) при \(b \ne 0\)
|
| Задача 87. Найдите \(p\left( x \right) + p\left( {12 — x} \right)\), если \(p\left( x \right) = \frac{{x\left( {12 — x} \right)}}{{x — 6}}\) при \(x \ne 6\)
|
| Задача 88. Найдите \(p\left( x \right) + p\left( { — 14 — x} \right)\), если \(p\left( x \right) = \frac{{x\left( { — 14 — x} \right)}}{{x + 7}}\) при \(x \ne — 7\)
|
| Задача 89. Найдите \(q\left( {b — 8} \right) — q\left( {b + 8} \right)\), если \(q\left( b \right) = — 5b\)
|
| Задача 90. Найдите \(q\left( {b — 4} \right) — q\left( {b + 4} \right)\), если \(q\left( b \right) = 10b\)
|
| Задача 91. Найдите \(7\left( {p\left( {5x} \right) — 5p\left( {x + 4} \right)} \right)\), если \(p\left( x \right) = x + 3\)
|
| Задача 92. Найдите \(3\left( {p\left( {4x} \right) — 4p\left( {x — 4} \right)} \right)\), если \(p\left( x \right) = x + 5\)
|
| Задача 93. Найдите \(p\left( {x — 2} \right) + p\left( {4 — x} \right)\), если \(p\left( x \right) = 3x + 4\)
|
| Задача 94. Найдите \(p\left( {x — 4} \right) + p\left( {5 — x} \right)\), если \(p\left( x \right) = 6x — 2\)
|
| Задача 95. Найдите \(11p\left( {x + 2} \right) — p\left( {11x} \right)\), если \(p\left( x \right) = x — 3\)
|
| Задача 96. Найдите \(9p\left( {x + 1} \right) — p\left( {9x} \right)\), если \(p\left( x \right) = 4x + 5\)
|
| Задача 97. Найдите \(\frac{{g\left( {5 — x} \right)}}{{g\left( {5 + x} \right)}}\), если \(g\left( x \right) = \sqrt[3]{{x\left( {10 — x} \right)}}\) при \(\left| x \right| \ne 5\)
|
| Задача 98. Найдите \(\frac{{g\left( {4 — x} \right)}}{{g\left( {4 + x} \right)}}\), если \(g\left( x \right) = \sqrt[5]{{x\left( {8 — x} \right)}}\) при \(\left| x \right| \ne 4\)
|
| Задача 99. Найдите \(h\left( {4 + x} \right) + h\left( {4 — x} \right)\), если \(h\left( x \right) = \sqrt[7]{x} + \sqrt[7]{{x — 8}}\)
|
| Задача 100. Найдите \(h\left( {8 + x} \right) + h\left( {8 — x} \right)\), если \(h\left( x \right) = \sqrt[{11}]{x} + \sqrt[{11}]{{x — 16}}\)
|
| Задача 101. Найдите \(\frac{{g\left( {x + 2} \right)}}{{g\left( {x + 4} \right)}}\), если \(g\left( x \right) = {10^x}\)
|
| Задача 102. Найдите \(\frac{{g\left( {x + 4} \right)}}{{g\left( {x + 2} \right)}}\), если \(g\left( x \right) = {4^x}\)
|
| Задача 103. Указать наибольшее целое число K, при котором дробь \(\frac{{6{K^2} + K — 27}}{{3K + 2}}\) является также целым числом.
|
| Задача 104. Указать сумму целых чисел K, при которых дробь \(\frac{{6{K^2} — 13K + 1}}{{2K — 5}}\) является также целым числом.
|
| Задача 105. Чему равно произведение выражений \(\sqrt {8 — t} \) и \(\sqrt {5 + t} \), если известно, что их сумма равна 5 (значение переменной t находить не нужно)?
|
| Задача 106. Чему равна сумма выражений \(\sqrt {25 — {t^2}} \) и \(\sqrt {15 — {t^2}} \), если известно, что их разность равна 2 (значение переменной t находить не нужно)?
|
| Задача 107. Определить A, B и C так, чтобы для всех допустимых значений x имело место равенство \(\quad \frac{{3{x^2} + 9x + 7}}{{{x^3} + 5{x^2} + 8x + 4}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 2}}\).
Ответ
ОТВЕТ: \(A = 1,\) \(B = — 1,\;C = 2\).
|
| Задача 108. Определить A, B и C так, чтобы для всех допустимых значений x имело место равенство \(\quad \frac{{4{x^2} + 5}}{{{x^3} — 1}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{C}{{x — 1}}\).
Ответ
ОТВЕТ: \(A = 1,\;B = — 2,\;C = 3\).
|