Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Упрощение алгебраических выражений

Задача 1. Упростите выражение    \(\frac{{{x^2} + xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\,\left( {\frac{x}{{x — y}} — \frac{y}{{x + y}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{x}{{x — y}}\).

Задача 2. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{x + y}}{{x — y}} — \frac{{x — y}}{{x + y}}} \right)\,{\left( {\frac{{x + y}}{{x — y}} + \frac{{x — y}}{{x + y}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\).

Задача 3. Упростите выражение    \(\frac{{{a^2} — {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \cdot \frac{{{a^4} — {b^4}}}{{{a^2} — 2ab + {b^2}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\left( {a + b} \right)^2}\).

Задача 4. Упростите выражение    \(\frac{{\left( {{x^2} + y\left( {x + y} \right)} \right)\,\left( {{x^2} — {y^2}} \right)}}{{\left( {{x^3} + 3xy\left( {x + y} \right) + {y^3}} \right)\,\left( {{x^3} — {y^3}} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\).

Задача 5. Упростите выражение    \(\frac{{{a^2} — 2ab + {b^2}}}{{{a^2} — ab + {b^2}}} \cdot \frac{{{a^3} + {b^3}}}{{a — b}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({a^2} — {b^2}\).

Задача 6. Упростите выражение    \(\frac{{\frac{1}{{a + b}} — \frac{1}{{a — b}}}}{{\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a — b}}}} \cdot \frac{a}{b}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 7. Упростите выражение \(\frac{2}{{4x — {x^2}}} + \left( {\frac{1}{{{x^2} — 4x}} + \frac{2}{{16 — {x^2}}} + \frac{1}{{16 + 4x}}} \right)\,{\left( {\frac{{x + 4}}{{x — 4}}} \right)^2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{{4x}}\).

Задача 8. Упростите выражение    \(\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{{{2^{}}}}{{a + b}}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)} \right)\,{\left( {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{{ab}}\).

Задача 9. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{1 + n}}{{{n^2} — mn}} — \frac{{1 — m}}{{{m^2} — mn}}} \right)\,{\left( {\frac{{m + n}}{{{m^2}n — {n^2}m}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 10. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{{y^2} — {x^2}}}{{{m^2} — {n^2}}}\frac{{m + n}}{{x — y}} — \frac{x}{{n — m}}} \right)\frac{{m — n}}{{2y}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{1}{2}\).

Задача 11. Упростите выражение    \(\frac{{{x^3} — 9{y^2}x}}{{9{y^2} + {x^2}}}\left( {\frac{{x + 3y}}{{{x^2} — 3xy}} + \frac{{x — 3y}}{{3xy + {x^2}}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 12. Упростите выражение \(\left( {\frac{a}{{a — b}} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2} — {a^2}}} + \frac{a}{{a + b}}} \right)\frac{{{a^2} — {b^2}}}{5}{\left( {\frac{{a + b}}{{15}}} \right)^{ — 1}}\frac{1}{{a — b}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 13. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{2 — n}}{{n + 2}} — \frac{{n + 2}}{{n — 2}}} \right)\,{\left( {\frac{{2 + n}}{{2 — n}} + \frac{{n — 2}}{{n + 2}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{4 + {n^2}}}{{4n}}\).

Задача 14. Упростите выражение    \(\left( {\frac{x}{{{x^2} — {y^2}}} — \frac{x}{{{{\left( {x — y} \right)}^2}}}} \right)\frac{{{y^2} — 2xy + {x^2}}}{{2x}} + \frac{y}{{x + y}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 15. Упростите выражение    \(\frac{{{{\left( {a — b} \right)}^2}}}{a}\left( {\frac{a}{{{{\left( {a — b} \right)}^2}}} + \frac{a}{{{b^2} — {a^2}}}} \right) + \frac{{3a + b}}{{a + b}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 16. Упростите выражение    \(\frac{{4x}}{{b + x}} + \left( {\frac{{2y}}{{{{\left( {x — b} \right)}^2}}} — \frac{{2y}}{{{x^2} — {b^2}}}} \right)\,{\left( {\frac{y}{{{{\left( {x — b} \right)}^2}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 17. Упростите выражение    \({\left( {\frac{{x + y}}{{x — y}}\left( {1 — \frac{x}{{x + y}}} \right)\,} \right)^{ — 1}}\,\left( {1 + \frac{y}{{x — y}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{x}{y}\).

Задача 18. Упростите выражение    \(\left( {\frac{b}{{{a^2} + ab}} — \frac{{b — {a^{}}}}{{{b^2} + ab}}} \right)\,{\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^3} — b{a^2}}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{b — a}}{a}\).

Задача 19. Упростите выражение \(\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{a — b}} + \frac{{2ab}}{{{b^2} — {a^2}}}} \right)\frac{a}{{a — b}} + \left( {\frac{b}{{b — a}} + \frac{{2ab}}{{{a^2} — {b^2}}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 20. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{y + 1}}{{{y^2} + 1 — 2y}} + \frac{1}{{y — 1}}} \right)\,{\left( {\frac{{{y^{}}}}{{y — 1}}} \right)^{ — 1}} — \frac{2}{{y — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 21. Упростите выражение    \(\left( {\frac{n}{{m — n}} + \frac{m}{{m + n}}} \right)\,\left( {\frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} + \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} — 2} \right)\,{\left( {\frac{{{m^4} — {n^4}}}{{{m^2}{n^2}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 22. Упростите выражение    \(\left( {\left( {\frac{x}{y} — \frac{y}{x}} \right)\,{{\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} — 2} \right)}^{ — 1}}} \right)\,\,{\left( {\left( {1 + \frac{y}{x}} \right)\frac{{{x^{}}}}{{x — y}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 23. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{a + b}}{{a — b}} + \frac{{a — b}}{{a + b}}} \right)\,{\left( {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} — {b^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2} — 1}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 24. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{x — y}}{y} + \frac{{{4^{}}x}}{{x — y}}} \right)\,\left( {1 — \frac{{y — 1}}{x} — \frac{{{y^{}}}}{{{x^2}}}} \right)\,{\left( {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{2{x^2}y}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\left( {x + 1} \right)\).

Задача 25. Упростите выражение  \(\left( {\frac{{{a^2} — ba}}{{{b^2} + ab}} — \frac{{{a^2} — 2ab + {b^2}}}{{{a^2} + ab}}} \right)\,{\left( {\frac{{{b^2}}}{{{a^3} — a{b^2}}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{{\left( {a — b} \right)}^2}}}{b}\).

Задача 26. Упростите выражение \(\left( {{a^2} — {b^2} — \frac{{4{a^2}b — 4a{b^2}}}{{a + b}}} \right)\,{\left( {\frac{a}{{a + b}} — \frac{b}{{b — a}} — \frac{{2a{b^{}}}}{{{a^2} — {b^2}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\left( {a — b} \right)^2}\).

Задача 27. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{m + 1}}{m} — \frac{1}{{m — {m^2}}}} \right)\,{\left( {m — \frac{{{m^2}}}{{m — 1}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 28. Упростите выражение    \(\frac{1}{x}{\left( {\frac{{{y^2} — xy}}{{x + y}}} \right)^2}\left( {\frac{{x + y}}{{{{\left( {x — y} \right)}^2}}} + \frac{{x + y}}{{xy — {y^2}}}} \right) + \frac{x}{{x + y}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 29. Упростите выражение  \(\frac{{x — 2}}{5} + {\left( {\frac{{^{}{1^{}}}}{{2x — 1}}} \right)^2}{\left( {\frac{{2 — x}}{{1 — 8{x^3}}} \cdot \frac{{1 + 4{x^2} + 2x}}{{2{x^2} + x}} — \frac{{2 + x}}{{x + 4{x^3} — 4{x^2}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{1}{2}\).

Задача 30. Упростите выражение    \(\frac{{x + 7}}{{x + 9}} + \left( {\frac{{x + 7}}{{{x^2} + 81 — 18x}} + \frac{{x + 5}}{{{x^2} — 81}}} \right)\,{\left( {\frac{{\,\,x + {3^{}}}}{{\,\,x — {9^{}}}}} \right)^{ — 2}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 31. Упростите выражение    \(\left( {\frac{1}{{b — \sqrt a }} + \frac{1}{{b + \sqrt a }}} \right)\,{\left( {\frac{{\sqrt {\frac{1}{9}} \,{a^{ — 2}}\,{b^{ — 1}}}}{{{a^{ — 2}} — {a^{ — 1}}\,{b^{ — 2}}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Задача 32. Упростите выражение  \(\frac{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{{{\left( {1 — {x^2}} \right)}^{ — 1}}}} + \frac{{{2^{\frac{3}{2}}}}}{{{x^{ — 2}}}}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{\,\,{x^{ — {2^{}}}}}}{{1 + {x^{ — 2}}}}} \right)}^{ — 1}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt 2 \).

Задача 33. Упростите выражение    \(\frac{{a — b}}{{a + b + 2\sqrt {ab} }}\,{\left( {\frac{{\sqrt {{a^{ — 1}}}  — {b^{ — \frac{1}{2}}}}}{{{a^{ — \frac{1}{2}}} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^{ — 1}}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 34. Упростите выражение \(\frac{{5b}}{{\sqrt {a — b} }}\,\left( {\frac{1}{{\sqrt a  — \sqrt {a — b} }} + \frac{1}{{\sqrt a  + \sqrt {a + b} }}} \right)\,{\left( {1 + \sqrt {\frac{{a + b}}{{a — b}}} } \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 35. Упростите выражение    \(\left( {\left( {a — b} \right)\sqrt {\frac{{a + b}}{{a — b}}}  + a — b} \right)\frac{1}{{6b}}\left( {\sqrt {\frac{{a + b}}{{a — b}}}  — 1} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{3}\).

Задача 36. Упростите выражение  \(\left( {\sqrt {ab}  — \frac{{ab}}{{a + \sqrt {ab} }}} \right)\,{\left( {\frac{{\sqrt[4]{{ab}} — \sqrt b }}{{a — b}}} \right)^{ — 1}}{\left( {\frac{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}{{\sqrt[4]{{{b^3}}}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(ab\).

Задача 37. Упростите выражение  \(\left( {\left( {1 + \frac{4}{{a — 2}}} \right)\,\left( {a — 4 + 4{a^{ — 1}}} \right) — 3} \right)\,{\left( {\frac{{{a^{ — \frac{1}{2}}} — 2{a^{ — 1}}}}{{{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)}^{ — 1}}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(a + 1\).

Задача 38. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{\sqrt a }}{2} — \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\,\left( {\frac{{a — \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}} — \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  — 1}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — 2\sqrt a \).

Задача 39. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{a — 4b}}{{a + \sqrt {ab}  — 6b}} — \frac{{a — 9b}}{{a + 6\sqrt {ab}  + 9b}}} \right)\,\frac{{{b^{ — \frac{1}{2}}}\,\left( {a — 9b} \right)}}{{\sqrt a  — 3{b^{\frac{1}{2}}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 40. Упростите выражение    \({\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{a^{\frac{1}{2}}} — 1}} + \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} — 1}}{{\sqrt a  + 1}} — \frac{4}{{a — 1}}} \right)^{ — 3}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{8}\).

Задача 41. Упростите выражение  \(\sqrt {{{\left( {1 — a} \right)}^{ — 1}}} \,{\left( {\sqrt {1 + a} } \right)^{ — 1}} — \frac{{a\,\,\sqrt {{a^2} — {a^3}}  \cdot \sqrt {1 + a}  + {{\left( {\,1 — {a^2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}{{1 — {a^4}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0, если \(a \in \left[ {0;\,1} \right);\)   \(\frac{{2{a^2}}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\sqrt {1 — {a^2}} }},\)  если  \(a \in \left( { — 1;\,0} \right)\)

Задача 42. Упростите выражение  \(\left( {\frac{{a + \sqrt {{a^2} — 4} }}{{a — \sqrt {{a^2} — 4} }} — \frac{{a — \sqrt {{a^2} — 4} }}{{a + \sqrt {{a^2} — 4} }}} \right)\,{\left( {\frac{{a\,\sqrt {a — 2} \sqrt {a + 2} }}{{^{}{4^{}}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 43. Упростите выражение \(\left( {\sqrt a  + \frac{{c — \sqrt {ac} }}{{\sqrt a  + \sqrt c }}} \right)\,{\left( {\frac{a}{{\sqrt {ac}  + c}} + \frac{c}{{\sqrt {ac}  — a}} — \frac{{a + c}}{{\sqrt {ac} }}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt c  — \sqrt a \).

Задача 44. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{x + \sqrt {{x^2} — 4}  + 2}}{{x — \sqrt {{x^2} — 4}  + 2}} + \frac{{2 — \sqrt {{x^2} — 4}  + x}}{{2 + \sqrt {{x^2} — 4}  + x}}} \right)\,{x^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1, если \(x \in \left( { — \infty ; — 2} \right) \cup \left[ {\,2;\, + \infty } \right).\)

Задача 45. Упростите выражение   \(\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} — {y^{\frac{1}{2}}}}}{{x\sqrt y  + y\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x  + \sqrt y }}{{x\,{y^{\frac{1}{2}}} — y\,{x^{\frac{1}{2}}}}}} \right)\frac{{x\,\sqrt x \,{y^{\frac{1}{2}}}}}{{x + y}} — \frac{{2y}}{{x — y}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 46. Упростите выражение    \(\frac{{{a^{\frac{4}{3}}} — 8\,{a^{\frac{1}{3}}}b}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + 2\,\sqrt[3]{{ab}} + 4{b^{\frac{2}{3}}}}} \cdot {\left( {1 — 2\,\,\sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({a^{\frac{2}{3}}}\).

Задача 47. Упростите выражение  \(\left( {\frac{{\sqrt {x — 2} }}{{\sqrt {x + 2}  + \sqrt {x — 2} }} + \frac{{x — 2}}{{\sqrt {{x^2} — 4}  — x + 2}}} \right)\,\sqrt {\,{{\left( {\frac{{{x^2}}}{4} — 1} \right)}^{ — 1}}} \)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 48. Упростите выражение    \(2\,{\left( {xy} \right)^{\frac{1}{2}}}{\left( {x + y} \right)^{ — 1}}{\left( {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{x}{y}}  — \sqrt {\frac{y}{x}} } \right)}^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1, если \(x > 0,\;y > 0;\;\)  -1, если  \(x < 0,\;y < 0\)

Задача 49. Упростите выражение    \(\frac{{2{x^{ — \frac{1}{3}}}}}{{{x^{\frac{2}{3}}} — 3\,{x^{ — \frac{1}{3}}}}} — \frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{{x^{\frac{5}{3}}} — {x^{\frac{2}{3}}}}} — \frac{{x + 1}}{{{x^2} — 4x + 3}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 50. Упростите выражение    \(\frac{{x — 1}}{{x + {x^{0,5}} + 1}}:\frac{{{x^{0,5}} + 1}}{{{x^{1,5}} — 1}} + \frac{2}{{{x^{ — 0,5}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(x + 1\).

Задача 51. Упростите выражение    \({\left( {\left( {\frac{{{2^{\frac{3}{2}}} + 27\,{a^{\frac{3}{5}}}}}{{\sqrt 2  + 3\,\sqrt[5]{a}}} + 3\,\sqrt[{10}]{{32\,{a^2}}} — 2} \right)\,{3^{ — 2}}} \right)^5}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({a^2}\).

Задача 52. Упростите выражение    \(\sqrt[n]{{{y^{\frac{{2n}}{{m — n}}}}}}\,:\,\sqrt[m]{{{y^{\frac{{{{\left( {m — n} \right)}^2} + 4mn}}{{{m^2} — {n^2}}}}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt[m]{y}\) .

Задача 53. Упростите выражение    \(\sqrt[6]{{4x\,\left( {11 + 4\sqrt 6 } \right)}} \cdot \sqrt[3]{{4\sqrt {2x}  — 2\sqrt {3x} }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt[3]{{20x}}\).

Задача 54. Упростите выражение    \(\frac{{{{\left( {{m^2} — {n^{ — 2}}} \right)}^m}{{\left( {n + {m^{ — 1}}} \right)}^{n — m}}}}{{{{\left( {{n^2} — {m^{ — 2}}} \right)}^n}{{\left( {m — {n^{ — 1}}} \right)}^{m — n}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\left( {\frac{m}{n}} \right)^{m + n}}\).

Задача 55. Упростите выражение    \(\frac{{{m^3} + {n^3}}}{{n\,{m^{ — 1}} + m\,{n^{ — 1}} — 1}} — {n^2}m\)

Ответ

ОТВЕТ: \({m^2}n\).

Задача 56. Упростите выражение   \(\frac{{\sqrt {1 — {x^2}}  — 1}}{x}\,\left( {\frac{{1 — x}}{{\sqrt {1 — {x^2}}  + x — 1}} + \frac{{\sqrt {1 + x} }}{{\sqrt {1 + x}  — \sqrt {1 — x} }}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 57. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt[4]{{{a^5}}} + \sqrt[4]{{a{b^4}}} — \sqrt[4]{{{a^4}b}} — \sqrt[4]{{{b^5}}}}}{{\sqrt a  — \sqrt b }} \cdot \left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(a + b\).

Задача 58. Упростите выражение    \(\frac{{4 — {a^2}}}{{2 + a + \sqrt {8a} }} \cdot \frac{{\sqrt a  + \sqrt 2 }}{{\sqrt a  — \sqrt 2 }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \left( {a + 2} \right)\).

Задача 59. Упростите выражение    \(\frac{{a + {b^2}}}{{a — b\,\sqrt { — a} }}:{\left( {\sqrt { — a} } \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt { — a}  — b\).

Задача 60. Упростите выражение    \(\frac{{{a^2} + 4}}{{a\,\,\sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2} — 4}}{{2a}}} \right)}^2} + 4} }}\)

Ответ

ОТВЕТ: -2, если \(a \in \left( { — \infty ;\,0} \right);\) 2, если  \(a \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Задача 61. Упростите выражение    \(\frac{{\frac{{\left| {\,b — 1} \right|}}{b} + b\,\left| {\,b — 1\,} \right| + 2 — \frac{2}{b}}}{{\sqrt {b — 2 + \frac{1}{b}} }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{b^2} — 1}}{{\sqrt b }},\)  если     \(b \in \left( {0;\,1} \right);\)  \(\frac{{{b^2} + 3}}{{\sqrt b }},\)  если  \(b \in \left( {1; + \infty } \right)\)

Задача 62. Упростите выражение    \(\left( {a + \frac{2}{{1 + 0,5a}}} \right):\frac{{{a^3} — 8}}{{a + 2}} + \frac{2}{{2a — {a^2}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{a}\).

Задача 63. Упростите выражение    \(\frac{{{a^3} + {a^2} — 2a}}{{a\,\left| {\,a + 2\,} \right| — {a^2} + 4}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{a}{2},\)  если   \(a \in \left( { — \infty ; — 2} \right);\)      \(\frac{{a\left( {a — 1} \right)}}{2}{\text{,}}\) если   \(a \in \left( { — 2; + \infty } \right)\)

Задача 64. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt {x — 2\sqrt {x — 1} } }}{{\sqrt {x — 1}  — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1, если \(x \in \left[ {1;\,2} \right);\) 1, если   \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

Задача 65. Упростите выражение    \(\frac{{x\,\left| {\,x — 3\,} \right| + {x^2} — 9}}{{2{x^3} — 3{x^2} — 9x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{3}{{x\left( {2x + 3} \right)}},\)  если  \(x \in \left( { — \infty ; — \frac{3}{2}} \right) \cup \left( { — \frac{3}{2};0} \right) \cup \left( {0;3} \right);\)   \(\frac{1}{x},\)  если \({\text{ }}\;x \in \left( {3; + \infty } \right)\)

Задача 66. Упростите выражение    \(\frac{{{x^2} — 1 + \left| {\,x + 1\,} \right|}}{{\left| {\,x\,} \right|\,\left( {x — 2} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{{x + 1}}{x},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right);\)  \(\frac{{x + 1}}{{2 — x}},\) если \(x \in \left[ { — 1;0} \right);\)  \(\frac{{x + 1}}{{x — 2}},\)  если  \(x \in \left( {0;\,2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)

Задача 67. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt {4x + 4 + {x^{ — 1}}} }}{{\sqrt x \,\left| {\,2{x^2} — x — 1\,} \right|}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{{x — {x^2}}},\) если  \(x \in \left( {0;\,1} \right);\)  \(\frac{1}{{{x^2} — x}},\)  если  \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

Задача 68. Упростите выражение    \(\frac{{\left| {\,{x^2} — 1\,} \right| + {x^2}}}{{2{x^2} — 1}} — \frac{{\left| {\,x — 1\,} \right|}}{{x — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 2, если \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right);\)   \(\frac{{2{x^2}}}{{2{x^2} — 1}},\) если \(x \in \left[ { — 1; — \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( { — \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,1} \right);\) 0, если \(x \in \left( {1; + \infty } \right).\)

Задача 69. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt {2b + 2\sqrt {{b^2} — 4} } }}{{\sqrt {{b^2} — 4}  + b + 2}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{{\sqrt {b + 2} }}\).

Задача 70. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt {x — 4\sqrt {x — 4} }  + 2}}{{\sqrt {x + 4\sqrt {x — 4} }  — 2}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{4}{{\sqrt {x — 4} }} — 1,\) если  \(x \in \left( {4;\,8} \right);\) 1, если  \(x \in \left[ {8; + \infty } \right).\)

Задача 71. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{{x^2} — 1}}{{2x}}} \right)}^2}} }}{{\left( {{x^2} + 1} \right) \cdot {x^{ — 1}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{1}{2},\) если   \(x \in \left( { — \infty ;\,0} \right);\)   \(\frac{1}{2},\) если   \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Задача 72. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt {{{\left( {3x + 2} \right)}^2} — 24x} }}{{3\sqrt x  — \frac{2}{{\sqrt x }}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \sqrt x ,\) если  \(x \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right);\)  \(\sqrt x ,\) если \(x \in \left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\)

Задача 73. Упростите выражение    \(\sqrt {\frac{x}{{2 + x + {x^{ — 1}}}}}  + \left| {\,x — 1\,} \right|\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{1 + x — {x^2}}}{{x + 1}},\)  если  \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right) \cup \left( {0;\,1} \right);\)   \(\frac{{1 — x — {x^2}}}{{x + 1}},\)  если  \(x \in \left( { — 1;\,0} \right);\)   \(\frac{{{x^2} + x — 1}}{{x + 1}},\) если \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\).

Задача 74. Упростите выражение    \(\frac{{\left( {x — 1} \right)\,\sqrt {{{\left( {x — 1} \right)}^2} + 4x} }}{{{x^2} + 1 + 2\,\left| {\,x\,} \right|}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{x + 1}}{{1 — x}},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right);\)  \(\frac{{x + 1}}{{x — 1}},\)  если  \(x \in \left[ { — 1;\,0} \right);\)  \(\frac{{x — 1}}{{x + 1}},\)  если \(x \in \left[ {0; + \infty } \right)\).

Задача 75. Упростите выражение    \(\sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2} — 4}}{{2x}}} \right)}^2} + 4}  + \sqrt {1 + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{4}{x}} \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{2 — x}}{2},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 2} \right);\)  \( — \frac{{{x^2} + 2x + 8}}{{2x}},\)  если  \(x \in \left[ { — 2;\,0} \right);\)  \(\frac{{{x^2} + 2x + 8}}{{2x}},\)  если  \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Задача 76. Упростите выражение    \(\frac{{\left( {x + 2} \right)\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} — 8x} }}{{{x^2} — 4\,\left| {\,x — 1\,} \right|}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{4 — {x^2}}}{{{x^2} + 4x — 4}},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 2 — 2\sqrt 2 } \right) \cup \left( { — 2 — 2\sqrt 2 ; — 2 + 2\sqrt 2 } \right) \cup \left( { — 2 + 2\sqrt 2 ;\,1} \right);\)  \(\frac{{x + 2}}{{2 — x}},\) если \(x \in \left[ {1;\,2} \right);\)  \(\frac{{x + 2}}{{x — 2}},\)  если  \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

Задача 77. Упростите выражение    \(\left| {\,\frac{{\left| {\,x — 2\,} \right| + 4}}{{x — 2}}\,} \right|\,\left( {{x^2} — 4} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \({x^2} — 4x — 12,\)  если  \(x \in \left( { — \infty ;\,2} \right);\)  \({\left( {x + 2} \right)^2},\)  если  \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

Задача 78. Упростите выражение    \(\frac{{\left| {\,\left| {\,x\,} \right| — 1\,} \right| \cdot \left| {\,x\,} \right|}}{{{x^2} — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{x}{{x — 1}},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right);\)  \(\frac{x}{{1 — x}},\)  если   \(x \in \left( { — 1;\,0} \right);\)  \(\; — \frac{x}{{x + 1}},\) если \(x \in \left[ {0;\,1} \right);\)  \(\frac{x}{{x + 1}},\)  если  \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

Задача 79. Упростите выражение    \(x\,\sqrt[3]{{2x\sqrt {xy}  — x\sqrt {3xy} }} \cdot \sqrt[6]{{{x^3}y\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({x^2}\,\left| {\,\sqrt[3]{y}\,} \right|\).

Задача 80. Упростите выражение \(\frac{{\sqrt {x — 2\sqrt {x + 3}  + 4} }}{{{x^{\frac{1}{2}}} — {{\left( {x — 3} \right)}^{\frac{1}{2}}} — \sqrt {3x + {x^2}}  + \sqrt {{x^2} — 9} }} — \frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt {x — 3} }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{{2\sqrt x }}{3}\).

Задача 81. Найдите  \(f\left( {x + 1} \right) — f\left( {x + \frac{4}{3}} \right)\),  если  \(f\left( x \right) = \frac{{3x + 2}}{{6x — 7}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{11}}{{36{x^2} — 1}}\).

Задача 82. Найдите  \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) + f\left( {\frac{x}{9}} \right)\),  если  \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{3x — 1}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{1}{3}\).

Задача 83. Найдите  \(10p\left( a \right) — 60a — 4\),  если  \(p\left( a \right) = 6a — 2\).

Ответ

ОТВЕТ: -24.

Задача 84. Найдите  \(5p\left( a \right) — 45a — 9\),  если  \(p\left( a \right) = 9a + 3\).

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Задача 85. Найдите  \(\frac{{p\left( b \right)}}{{p\left( {\frac{1}{b}} \right)}}\),  если  \(p\left( b \right) = \left( {b — \frac{7}{b}} \right)\left( { — 7b + \frac{1}{b}} \right)\)   при  \(b \ne 0\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 86. Найдите  \(\frac{{p\left( b \right)}}{{p\left( {\frac{1}{b}} \right)}}\),  если  \(p\left( b \right) = \left( {b — \frac{{10}}{b}} \right)\left( { — 10b + \frac{1}{b}} \right)\)   при  \(b \ne 0\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 87. Найдите  \(p\left( x \right) + p\left( {12 — x} \right)\),  если  \(p\left( x \right) = \frac{{x\left( {12 — x} \right)}}{{x — 6}}\)   при  \(x \ne 6\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 88. Найдите  \(p\left( x \right) + p\left( { — 14 — x} \right)\),  если  \(p\left( x \right) = \frac{{x\left( { — 14 — x} \right)}}{{x + 7}}\)   при  \(x \ne  — 7\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 89. Найдите   \(q\left( {b — 8} \right) — q\left( {b + 8} \right)\),   если   \(q\left( b \right) =  — 5b\)

Ответ

ОТВЕТ: 80.

Задача 90. Найдите   \(q\left( {b — 4} \right) — q\left( {b + 4} \right)\),   если   \(q\left( b \right) = 10b\)

Ответ

ОТВЕТ: -80.

Задача 91. Найдите   \(7\left( {p\left( {5x} \right) — 5p\left( {x + 4} \right)} \right)\),   если   \(p\left( x \right) = x + 3\)

Ответ

ОТВЕТ: -224.

Задача 92. Найдите   \(3\left( {p\left( {4x} \right) — 4p\left( {x — 4} \right)} \right)\),   если   \(p\left( x \right) = x + 5\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 93. Найдите   \(p\left( {x — 2} \right) + p\left( {4 — x} \right)\),   если   \(p\left( x \right) = 3x + 4\)

Ответ

ОТВЕТ: 14.

Задача 94. Найдите   \(p\left( {x — 4} \right) + p\left( {5 — x} \right)\),   если   \(p\left( x \right) = 6x — 2\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 95. Найдите   \(11p\left( {x + 2} \right) — p\left( {11x} \right)\),   если   \(p\left( x \right) = x — 3\)

Ответ

ОТВЕТ: -8.

Задача 96. Найдите   \(9p\left( {x + 1} \right) — p\left( {9x} \right)\),   если   \(p\left( x \right) = 4x + 5\)

Ответ

ОТВЕТ: 76.

Задача 97. Найдите   \(\frac{{g\left( {5 — x} \right)}}{{g\left( {5 + x} \right)}}\),   если   \(g\left( x \right) = \sqrt[3]{{x\left( {10 — x} \right)}}\)   при  \(\left| x \right| \ne 5\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 98. Найдите   \(\frac{{g\left( {4 — x} \right)}}{{g\left( {4 + x} \right)}}\),   если   \(g\left( x \right) = \sqrt[5]{{x\left( {8 — x} \right)}}\)   при  \(\left| x \right| \ne 4\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 99. Найдите   \(h\left( {4 + x} \right) + h\left( {4 — x} \right)\),   если   \(h\left( x \right) = \sqrt[7]{x} + \sqrt[7]{{x — 8}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 100. Найдите  \(h\left( {8 + x} \right) + h\left( {8 — x} \right)\),  если   \(h\left( x \right) = \sqrt[{11}]{x} + \sqrt[{11}]{{x — 16}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 101. Найдите   \(\frac{{g\left( {x + 2} \right)}}{{g\left( {x + 4} \right)}}\),   если   \(g\left( x \right) = {10^x}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,01.

Задача 102. Найдите   \(\frac{{g\left( {x + 4} \right)}}{{g\left( {x + 2} \right)}}\),   если   \(g\left( x \right) = {4^x}\)

Ответ

ОТВЕТ: 16.

Задача 103. Указать наибольшее целое число K, при котором дробь \(\frac{{6{K^2} + K — 27}}{{3K + 2}}\) является также целым числом.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 104. Указать сумму целых чисел K, при которых дробь \(\frac{{6{K^2} — 13K + 1}}{{2K — 5}}\) является также целым числом.

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Задача 105. Чему равно произведение выражений \(\sqrt {8 — t} \) и \(\sqrt {5 + t} \), если известно, что их сумма равна 5 (значение переменной t находить не нужно)?

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Задача 106. Чему равна сумма выражений \(\sqrt {25 — {t^2}} \) и \(\sqrt {15 — {t^2}} \), если известно, что их разность равна 2 (значение переменной t находить не нужно)?

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 107. Определить A, B и C так, чтобы для всех допустимых значений x имело место равенство \(\quad \frac{{3{x^2} + 9x + 7}}{{{x^3} + 5{x^2} + 8x + 4}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 2}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(A = 1,\) \(B =  — 1,\;C = 2\).

Задача 108. Определить A, B и C так, чтобы для всех допустимых значений x имело место равенство \(\quad \frac{{4{x^2} + 5}}{{{x^3} — 1}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{C}{{x — 1}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(A = 1,\;B =  — 2,\;C = 3\).

Текстовое решение задач:

1B 2B 3B 4B 5B 6B 7B 8B 9B 10B
11B 12B 13B 14B 15B 16B 17B 18B 19B 20B
21B 22B 23B 24B 25B 26B 27B 28B 29B 30B
31B 32B 33B 34B 35B 36B 37B 38B 39B 40B
41B 42B 43B 44B 45B 46B 47B 48B 49B 50B
51B 52B 53B 54B 55B 56B 57B 58B 59B 60B
61B 62B 63B 64B 65B 66B 67B 68B 69B 70B
71B 72B 73B 74B 75B 76B 77B 78B 79B 80B
81B 82B 83B 84B 85B 86B 87B 88B 89B 90B
91B 92B 93B 94B 95B 96B 97B 98B 99B 100B
101B 102B 103B 104B 105B 106B 107B 108B