Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Упрощение алгебраических выражений

Задача 1. Упростите выражение    \(\frac{{{x^2} + xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\,\left( {\frac{x}{{x — y}} — \frac{y}{{x + y}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{x}{{x — y}}\).

Задача 2. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{x + y}}{{x — y}} — \frac{{x — y}}{{x + y}}} \right)\,{\left( {\frac{{x + y}}{{x — y}} + \frac{{x — y}}{{x + y}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\).

Задача 3. Упростите выражение    \(\frac{{{a^2} — {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \cdot \frac{{{a^4} — {b^4}}}{{{a^2} — 2ab + {b^2}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\left( {a + b} \right)^2}\).

Задача 4. Упростите выражение    \(\frac{{\left( {{x^2} + y\left( {x + y} \right)} \right)\,\left( {{x^2} — {y^2}} \right)}}{{\left( {{x^3} + 3xy\left( {x + y} \right) + {y^3}} \right)\,\left( {{x^3} — {y^3}} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\).

Задача 5. Упростите выражение    \(\frac{{{a^2} — 2ab + {b^2}}}{{{a^2} — ab + {b^2}}} \cdot \frac{{{a^3} + {b^3}}}{{a — b}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({a^2} — {b^2}\).

Задача 6. Упростите выражение    \(\frac{{\frac{1}{{a + b}} — \frac{1}{{a — b}}}}{{\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a — b}}}} \cdot \frac{a}{b}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 7. Упростите выражение \(\frac{2}{{4x — {x^2}}} + \left( {\frac{1}{{{x^2} — 4x}} + \frac{2}{{16 — {x^2}}} + \frac{1}{{16 + 4x}}} \right)\,{\left( {\frac{{x + 4}}{{x — 4}}} \right)^2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{{4x}}\).

Задача 8. Упростите выражение    \(\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{{{2^{}}}}{{a + b}}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)} \right)\,{\left( {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{{ab}}\).

Задача 9. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{1 + n}}{{{n^2} — mn}} — \frac{{1 — m}}{{{m^2} — mn}}} \right)\,{\left( {\frac{{m + n}}{{{m^2}n — {n^2}m}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 10. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{{y^2} — {x^2}}}{{{m^2} — {n^2}}}\frac{{m + n}}{{x — y}} — \frac{x}{{n — m}}} \right)\frac{{m — n}}{{2y}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{1}{2}\).

Задача 11. Упростите выражение    \(\frac{{{x^3} — 9{y^2}x}}{{9{y^2} + {x^2}}}\left( {\frac{{x + 3y}}{{{x^2} — 3xy}} + \frac{{x — 3y}}{{3xy + {x^2}}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 12. Упростите выражение \(\left( {\frac{a}{{a — b}} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2} — {a^2}}} + \frac{a}{{a + b}}} \right)\frac{{{a^2} — {b^2}}}{5}{\left( {\frac{{a + b}}{{15}}} \right)^{ — 1}}\frac{1}{{a — b}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 13. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{2 — n}}{{n + 2}} — \frac{{n + 2}}{{n — 2}}} \right)\,{\left( {\frac{{2 + n}}{{2 — n}} + \frac{{n — 2}}{{n + 2}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{4 + {n^2}}}{{4n}}\).

Задача 14. Упростите выражение    \(\left( {\frac{x}{{{x^2} — {y^2}}} — \frac{x}{{{{\left( {x — y} \right)}^2}}}} \right)\frac{{{y^2} — 2xy + {x^2}}}{{2x}} + \frac{y}{{x + y}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 15. Упростите выражение    \(\frac{{{{\left( {a — b} \right)}^2}}}{a}\left( {\frac{a}{{{{\left( {a — b} \right)}^2}}} + \frac{a}{{{b^2} — {a^2}}}} \right) + \frac{{3a + b}}{{a + b}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 16. Упростите выражение    \(\frac{{4x}}{{b + x}} + \left( {\frac{{2y}}{{{{\left( {x — b} \right)}^2}}} — \frac{{2y}}{{{x^2} — {b^2}}}} \right)\,{\left( {\frac{y}{{{{\left( {x — b} \right)}^2}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 17. Упростите выражение    \({\left( {\frac{{x + y}}{{x — y}}\left( {1 — \frac{x}{{x + y}}} \right)\,} \right)^{ — 1}}\,\left( {1 + \frac{y}{{x — y}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{x}{y}\).

Задача 18. Упростите выражение    \(\left( {\frac{b}{{{a^2} + ab}} — \frac{{b — {a^{}}}}{{{b^2} + ab}}} \right)\,{\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^3} — b{a^2}}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{b — a}}{a}\).

Задача 19. Упростите выражение \(\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{a — b}} + \frac{{2ab}}{{{b^2} — {a^2}}}} \right)\frac{a}{{a — b}} + \left( {\frac{b}{{b — a}} + \frac{{2ab}}{{{a^2} — {b^2}}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 20. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{y + 1}}{{{y^2} + 1 — 2y}} + \frac{1}{{y — 1}}} \right)\,{\left( {\frac{{{y^{}}}}{{y — 1}}} \right)^{ — 1}} — \frac{2}{{y — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 21. Упростите выражение    \(\left( {\frac{n}{{m — n}} + \frac{m}{{m + n}}} \right)\,\left( {\frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} + \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} — 2} \right)\,{\left( {\frac{{{m^4} — {n^4}}}{{{m^2}{n^2}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 22. Упростите выражение    \(\left( {\left( {\frac{x}{y} — \frac{y}{x}} \right)\,{{\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} — 2} \right)}^{ — 1}}} \right)\,\,{\left( {\left( {1 + \frac{y}{x}} \right)\frac{{{x^{}}}}{{x — y}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 23. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{a + b}}{{a — b}} + \frac{{a — b}}{{a + b}}} \right)\,{\left( {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} — {b^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2} — 1}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 24. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{x — y}}{y} + \frac{{{4^{}}x}}{{x — y}}} \right)\,\left( {1 — \frac{{y — 1}}{x} — \frac{{{y^{}}}}{{{x^2}}}} \right)\,{\left( {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{2{x^2}y}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\left( {x + 1} \right)\).

Задача 25. Упростите выражение  \(\left( {\frac{{{a^2} — ba}}{{{b^2} + ab}} — \frac{{{a^2} — 2ab + {b^2}}}{{{a^2} + ab}}} \right)\,{\left( {\frac{{{b^2}}}{{{a^3} — a{b^2}}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{{\left( {a — b} \right)}^2}}}{b}\).

Задача 26. Упростите выражение \(\left( {{a^2} — {b^2} — \frac{{4{a^2}b — 4a{b^2}}}{{a + b}}} \right)\,{\left( {\frac{a}{{a + b}} — \frac{b}{{b — a}} — \frac{{2a{b^{}}}}{{{a^2} — {b^2}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\left( {a — b} \right)^2}\).

Задача 27. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{m + 1}}{m} — \frac{1}{{m — {m^2}}}} \right)\,{\left( {m — \frac{{{m^2}}}{{m — 1}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 28. Упростите выражение    \(\frac{1}{x}{\left( {\frac{{{y^2} — xy}}{{x + y}}} \right)^2}\left( {\frac{{x + y}}{{{{\left( {x — y} \right)}^2}}} + \frac{{x + y}}{{xy — {y^2}}}} \right) + \frac{x}{{x + y}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 29. Упростите выражение  \(\frac{{x — 2}}{5} + {\left( {\frac{{^{}{1^{}}}}{{2x — 1}}} \right)^2}{\left( {\frac{{2 — x}}{{1 — 8{x^3}}} \cdot \frac{{1 + 4{x^2} + 2x}}{{2{x^2} + x}} — \frac{{2 + x}}{{x + 4{x^3} — 4{x^2}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{1}{2}\).

Задача 30. Упростите выражение    \(\frac{{x + 7}}{{x + 9}} + \left( {\frac{{x + 7}}{{{x^2} + 81 — 18x}} + \frac{{x + 5}}{{{x^2} — 81}}} \right)\,{\left( {\frac{{\,\,x + {3^{}}}}{{\,\,x — {9^{}}}}} \right)^{ — 2}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 31. Упростите выражение    \(\left( {\frac{1}{{b — \sqrt a }} + \frac{1}{{b + \sqrt a }}} \right)\,{\left( {\frac{{\sqrt {\frac{1}{9}} \,{a^{ — 2}}\,{b^{ — 1}}}}{{{a^{ — 2}} — {a^{ — 1}}\,{b^{ — 2}}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Задача 32. Упростите выражение  \(\frac{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{{{\left( {1 — {x^2}} \right)}^{ — 1}}}} + \frac{{{2^{\frac{3}{2}}}}}{{{x^{ — 2}}}}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{\,\,{x^{ — {2^{}}}}}}{{1 + {x^{ — 2}}}}} \right)}^{ — 1}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt 2 \).

Задача 33. Упростите выражение    \(\frac{{a — b}}{{a + b + 2\sqrt {ab} }}\,{\left( {\frac{{\sqrt {{a^{ — 1}}}  — {b^{ — \frac{1}{2}}}}}{{{a^{ — \frac{1}{2}}} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^{ — 1}}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 34. Упростите выражение \(\frac{{5b}}{{\sqrt {a — b} }}\,\left( {\frac{1}{{\sqrt a  — \sqrt {a — b} }} + \frac{1}{{\sqrt a  + \sqrt {a + b} }}} \right)\,{\left( {1 + \sqrt {\frac{{a + b}}{{a — b}}} } \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 35. Упростите выражение    \(\left( {\left( {a — b} \right)\sqrt {\frac{{a + b}}{{a — b}}}  + a — b} \right)\frac{1}{{6b}}\left( {\sqrt {\frac{{a + b}}{{a — b}}}  — 1} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{3}\).

Задача 36. Упростите выражение  \(\left( {\sqrt {ab}  — \frac{{ab}}{{a + \sqrt {ab} }}} \right)\,{\left( {\frac{{\sqrt[4]{{ab}} — \sqrt b }}{{a — b}}} \right)^{ — 1}}{\left( {\frac{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}{{\sqrt[4]{{{b^3}}}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(ab\).

Задача 37. Упростите выражение  \(\left( {\left( {1 + \frac{4}{{a — 2}}} \right)\,\left( {a — 4 + 4{a^{ — 1}}} \right) — 3} \right)\,{\left( {\frac{{{a^{ — \frac{1}{2}}} — 2{a^{ — 1}}}}{{{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)}^{ — 1}}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(a + 1\).

Задача 38. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{\sqrt a }}{2} — \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\,\left( {\frac{{a — \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}} — \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  — 1}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — 2\sqrt a \).

Задача 39. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{a — 4b}}{{a + \sqrt {ab}  — 6b}} — \frac{{a — 9b}}{{a + 6\sqrt {ab}  + 9b}}} \right)\,\frac{{{b^{ — \frac{1}{2}}}\,\left( {a — 9b} \right)}}{{\sqrt a  — 3{b^{\frac{1}{2}}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 40. Упростите выражение    \({\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{a^{\frac{1}{2}}} — 1}} + \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} — 1}}{{\sqrt a  + 1}} — \frac{4}{{a — 1}}} \right)^{ — 3}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{8}\).

Задача 41. Упростите выражение  \(\sqrt {{{\left( {1 — a} \right)}^{ — 1}}} \,{\left( {\sqrt {1 + a} } \right)^{ — 1}} — \frac{{a\,\,\sqrt {{a^2} — {a^3}}  \cdot \sqrt {1 + a}  + {{\left( {\,1 — {a^2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}{{1 — {a^4}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0, если \(a \in \left[ {0;\,1} \right);\)   \(\frac{{2{a^2}}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\sqrt {1 — {a^2}} }},\)  если  \(a \in \left( { — 1;\,0} \right)\)

Задача 42. Упростите выражение  \(\left( {\frac{{a + \sqrt {{a^2} — 4} }}{{a — \sqrt {{a^2} — 4} }} — \frac{{a — \sqrt {{a^2} — 4} }}{{a + \sqrt {{a^2} — 4} }}} \right)\,{\left( {\frac{{a\,\sqrt {a — 2} \sqrt {a + 2} }}{{^{}{4^{}}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 43. Упростите выражение \(\left( {\sqrt a  + \frac{{c — \sqrt {ac} }}{{\sqrt a  + \sqrt c }}} \right)\,{\left( {\frac{a}{{\sqrt {ac}  + c}} + \frac{c}{{\sqrt {ac}  — a}} — \frac{{a + c}}{{\sqrt {ac} }}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt c  — \sqrt a \).

Задача 44. Упростите выражение    \(\left( {\frac{{x + \sqrt {{x^2} — 4}  + 2}}{{x — \sqrt {{x^2} — 4}  + 2}} + \frac{{2 — \sqrt {{x^2} — 4}  + x}}{{2 + \sqrt {{x^2} — 4}  + x}}} \right)\,{x^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1, если \(x \in \left( { — \infty ; — 2} \right) \cup \left[ {\,2;\, + \infty } \right).\)

Задача 45. Упростите выражение   \(\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} — {y^{\frac{1}{2}}}}}{{x\sqrt y  + y\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x  + \sqrt y }}{{x\,{y^{\frac{1}{2}}} — y\,{x^{\frac{1}{2}}}}}} \right)\frac{{x\,\sqrt x \,{y^{\frac{1}{2}}}}}{{x + y}} — \frac{{2y}}{{x — y}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 46. Упростите выражение    \(\frac{{{a^{\frac{4}{3}}} — 8\,{a^{\frac{1}{3}}}b}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + 2\,\sqrt[3]{{ab}} + 4{b^{\frac{2}{3}}}}} \cdot {\left( {1 — 2\,\,\sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({a^{\frac{2}{3}}}\).

Задача 47. Упростите выражение  \(\left( {\frac{{\sqrt {x — 2} }}{{\sqrt {x + 2}  + \sqrt {x — 2} }} + \frac{{x — 2}}{{\sqrt {{x^2} — 4}  — x + 2}}} \right)\,\sqrt {\,{{\left( {\frac{{{x^2}}}{4} — 1} \right)}^{ — 1}}} \)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 48. Упростите выражение    \(2\,{\left( {xy} \right)^{\frac{1}{2}}}{\left( {x + y} \right)^{ — 1}}{\left( {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{x}{y}}  — \sqrt {\frac{y}{x}} } \right)}^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 1, если \(x > 0,\;y > 0;\;\)  -1, если  \(x < 0,\;y < 0\)

Задача 49. Упростите выражение    \(\frac{{2{x^{ — \frac{1}{3}}}}}{{{x^{\frac{2}{3}}} — 3\,{x^{ — \frac{1}{3}}}}} — \frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{{x^{\frac{5}{3}}} — {x^{\frac{2}{3}}}}} — \frac{{x + 1}}{{{x^2} — 4x + 3}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 50. Упростите выражение    \(\frac{{x — 1}}{{x + {x^{0,5}} + 1}}:\frac{{{x^{0,5}} + 1}}{{{x^{1,5}} — 1}} + \frac{2}{{{x^{ — 0,5}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(x + 1\).

Задача 51. Упростите выражение    \({\left( {\left( {\frac{{{2^{\frac{3}{2}}} + 27\,{a^{\frac{3}{5}}}}}{{\sqrt 2  + 3\,\sqrt[5]{a}}} + 3\,\sqrt[{10}]{{32\,{a^2}}} — 2} \right)\,{3^{ — 2}}} \right)^5}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({a^2}\).

Задача 52. Упростите выражение    \(\sqrt[n]{{{y^{\frac{{2n}}{{m — n}}}}}}\,:\,\sqrt[m]{{{y^{\frac{{{{\left( {m — n} \right)}^2} + 4mn}}{{{m^2} — {n^2}}}}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt[m]{y}\) .

Задача 53. Упростите выражение    \(\sqrt[6]{{4x\,\left( {11 + 4\sqrt 6 } \right)}} \cdot \sqrt[3]{{4\sqrt {2x}  — 2\sqrt {3x} }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt[3]{{20x}}\).

Задача 54. Упростите выражение    \(\frac{{{{\left( {{m^2} — {n^{ — 2}}} \right)}^m}{{\left( {n + {m^{ — 1}}} \right)}^{n — m}}}}{{{{\left( {{n^2} — {m^{ — 2}}} \right)}^n}{{\left( {m — {n^{ — 1}}} \right)}^{m — n}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\left( {\frac{m}{n}} \right)^{m + n}}\).

Задача 55. Упростите выражение    \(\frac{{{m^3} + {n^3}}}{{n\,{m^{ — 1}} + m\,{n^{ — 1}} — 1}} — {n^2}m\)

Ответ

ОТВЕТ: \({m^2}n\).

Задача 56. Упростите выражение   \(\frac{{\sqrt {1 — {x^2}}  — 1}}{x}\,\left( {\frac{{1 — x}}{{\sqrt {1 — {x^2}}  + x — 1}} + \frac{{\sqrt {1 + x} }}{{\sqrt {1 + x}  — \sqrt {1 — x} }}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 57. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt[4]{{{a^5}}} + \sqrt[4]{{a{b^4}}} — \sqrt[4]{{{a^4}b}} — \sqrt[4]{{{b^5}}}}}{{\sqrt a  — \sqrt b }} \cdot \left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(a + b\).

Задача 58. Упростите выражение    \(\frac{{4 — {a^2}}}{{2 + a + \sqrt {8a} }} \cdot \frac{{\sqrt a  + \sqrt 2 }}{{\sqrt a  — \sqrt 2 }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \left( {a + 2} \right)\).

Задача 59. Упростите выражение    \(\frac{{a + {b^2}}}{{a — b\,\sqrt { — a} }}:{\left( {\sqrt { — a} } \right)^{ — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt { — a}  — b\).

Задача 60. Упростите выражение    \(\frac{{{a^2} + 4}}{{a\,\,\sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2} — 4}}{{2a}}} \right)}^2} + 4} }}\)

Ответ

ОТВЕТ: -2, если \(a \in \left( { — \infty ;\,0} \right);\) 2, если  \(a \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Задача 61. Упростите выражение    \(\frac{{\frac{{\left| {\,b — 1} \right|}}{b} + b\,\left| {\,b — 1\,} \right| + 2 — \frac{2}{b}}}{{\sqrt {b — 2 + \frac{1}{b}} }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{b^2} — 1}}{{\sqrt b }},\)  если     \(b \in \left( {0;\,1} \right);\)  \(\frac{{{b^2} + 3}}{{\sqrt b }},\)  если  \(b \in \left( {1; + \infty } \right)\)

Задача 62. Упростите выражение    \(\left( {a + \frac{2}{{1 + 0,5a}}} \right):\frac{{{a^3} — 8}}{{a + 2}} + \frac{2}{{2a — {a^2}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{a}\).

Задача 63. Упростите выражение    \(\frac{{{a^3} + {a^2} — 2a}}{{a\,\left| {\,a + 2\,} \right| — {a^2} + 4}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{a}{2},\)  если   \(a \in \left( { — \infty ; — 2} \right);\)      \(\frac{{a\left( {a — 1} \right)}}{2}{\text{,}}\) если   \(a \in \left( { — 2; + \infty } \right)\)

Задача 64. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt {x — 2\sqrt {x — 1} } }}{{\sqrt {x — 1}  — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1, если \(x \in \left[ {1;\,2} \right);\) 1, если   \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

Задача 65. Упростите выражение    \(\frac{{x\,\left| {\,x — 3\,} \right| + {x^2} — 9}}{{2{x^3} — 3{x^2} — 9x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{3}{{x\left( {2x + 3} \right)}},\)  если  \(x \in \left( { — \infty ; — \frac{3}{2}} \right) \cup \left( { — \frac{3}{2};0} \right) \cup \left( {0;3} \right);\)   \(\frac{1}{x},\)  если \({\text{ }}\;x \in \left( {3; + \infty } \right)\)

Задача 66. Упростите выражение    \(\frac{{{x^2} — 1 + \left| {\,x + 1\,} \right|}}{{\left| {\,x\,} \right|\,\left( {x — 2} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{{x + 1}}{x},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right);\)  \(\frac{{x + 1}}{{2 — x}},\) если \(x \in \left[ { — 1;0} \right);\)  \(\frac{{x + 1}}{{x — 2}},\)  если  \(x \in \left( {0;\,2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)

Задача 67. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt {4x + 4 + {x^{ — 1}}} }}{{\sqrt x \,\left| {\,2{x^2} — x — 1\,} \right|}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{{x — {x^2}}},\) если  \(x \in \left( {0;\,1} \right);\)  \(\frac{1}{{{x^2} — x}},\)  если  \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

Задача 68. Упростите выражение    \(\frac{{\left| {\,{x^2} — 1\,} \right| + {x^2}}}{{2{x^2} — 1}} — \frac{{\left| {\,x — 1\,} \right|}}{{x — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 2, если \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right);\)   \(\frac{{2{x^2}}}{{2{x^2} — 1}},\) если \(x \in \left[ { — 1; — \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( { — \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,1} \right);\) 0, если \(x \in \left( {1; + \infty } \right).\)

Задача 69. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt {2b + 2\sqrt {{b^2} — 4} } }}{{\sqrt {{b^2} — 4}  + b + 2}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{{\sqrt {b + 2} }}\).

Задача 70. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt {x — 4\sqrt {x — 4} }  + 2}}{{\sqrt {x + 4\sqrt {x — 4} }  — 2}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{4}{{\sqrt {x — 4} }} — 1,\) если  \(x \in \left( {4;\,8} \right);\) 1, если  \(x \in \left[ {8; + \infty } \right).\)

Задача 71. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{{x^2} — 1}}{{2x}}} \right)}^2}} }}{{\left( {{x^2} + 1} \right) \cdot {x^{ — 1}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{1}{2},\) если   \(x \in \left( { — \infty ;\,0} \right);\)   \(\frac{1}{2},\) если   \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Задача 72. Упростите выражение    \(\frac{{\sqrt {{{\left( {3x + 2} \right)}^2} — 24x} }}{{3\sqrt x  — \frac{2}{{\sqrt x }}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \sqrt x ,\) если  \(x \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right);\)  \(\sqrt x ,\) если \(x \in \left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\)

Задача 73. Упростите выражение    \(\sqrt {\frac{x}{{2 + x + {x^{ — 1}}}}}  + \left| {\,x — 1\,} \right|\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{1 + x — {x^2}}}{{x + 1}},\)  если  \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right) \cup \left( {0;\,1} \right);\)   \(\frac{{1 — x — {x^2}}}{{x + 1}},\)  если  \(x \in \left( { — 1;\,0} \right);\)   \(\frac{{{x^2} + x — 1}}{{x + 1}},\) если \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\).

Задача 74. Упростите выражение    \(\frac{{\left( {x — 1} \right)\,\sqrt {{{\left( {x — 1} \right)}^2} + 4x} }}{{{x^2} + 1 + 2\,\left| {\,x\,} \right|}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{x + 1}}{{1 — x}},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right);\)  \(\frac{{x + 1}}{{x — 1}},\)  если  \(x \in \left[ { — 1;\,0} \right);\)  \(\frac{{x — 1}}{{x + 1}},\)  если \(x \in \left[ {0; + \infty } \right)\).

Задача 75. Упростите выражение    \(\sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2} — 4}}{{2x}}} \right)}^2} + 4}  + \sqrt {1 + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{4}{x}} \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{2 — x}}{2},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 2} \right);\)  \( — \frac{{{x^2} + 2x + 8}}{{2x}},\)  если  \(x \in \left[ { — 2;\,0} \right);\)  \(\frac{{{x^2} + 2x + 8}}{{2x}},\)  если  \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Задача 76. Упростите выражение    \(\frac{{\left( {x + 2} \right)\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} — 8x} }}{{{x^2} — 4\,\left| {\,x — 1\,} \right|}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{4 — {x^2}}}{{{x^2} + 4x — 4}},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 2 — 2\sqrt 2 } \right) \cup \left( { — 2 — 2\sqrt 2 ; — 2 + 2\sqrt 2 } \right) \cup \left( { — 2 + 2\sqrt 2 ;\,1} \right);\)  \(\frac{{x + 2}}{{2 — x}},\) если \(x \in \left[ {1;\,2} \right);\)  \(\frac{{x + 2}}{{x — 2}},\)  если  \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

Задача 77. Упростите выражение    \(\left| {\,\frac{{\left| {\,x — 2\,} \right| + 4}}{{x — 2}}\,} \right|\,\left( {{x^2} — 4} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \({x^2} — 4x — 12,\)  если  \(x \in \left( { — \infty ;\,2} \right);\)  \({\left( {x + 2} \right)^2},\)  если  \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

Задача 78. Упростите выражение    \(\frac{{\left| {\,\left| {\,x\,} \right| — 1\,} \right| \cdot \left| {\,x\,} \right|}}{{{x^2} — 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{x}{{x — 1}},\) если \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right);\)  \(\frac{x}{{1 — x}},\)  если   \(x \in \left( { — 1;\,0} \right);\)  \(\; — \frac{x}{{x + 1}},\) если \(x \in \left[ {0;\,1} \right);\)  \(\frac{x}{{x + 1}},\)  если  \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

Задача 79. Упростите выражение    \(x\,\sqrt[3]{{2x\sqrt {xy}  — x\sqrt {3xy} }} \cdot \sqrt[6]{{{x^3}y\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({x^2}\,\left| {\,\sqrt[3]{y}\,} \right|\).

Задача 80. Упростите выражение \(\frac{{\sqrt {x — 2\sqrt {x + 3}  + 4} }}{{{x^{\frac{1}{2}}} — {{\left( {x — 3} \right)}^{\frac{1}{2}}} — \sqrt {3x + {x^2}}  + \sqrt {{x^2} — 9} }} — \frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt {x — 3} }}\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{{2\sqrt x }}{3}\).

Задача 81. Найдите  \(f\left( {x + 1} \right) — f\left( {x + \frac{4}{3}} \right)\),  если  \(f\left( x \right) = \frac{{3x + 2}}{{6x — 7}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{11}}{{36{x^2} — 1}}\).

Задача 82. Найдите  \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) + f\left( {\frac{x}{9}} \right)\),  если  \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{3x — 1}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \( — \frac{1}{3}\).

Задача 83. Найдите  \(10p\left( a \right) — 60a — 4\),  если  \(p\left( a \right) = 6a — 2\).

Ответ

ОТВЕТ: -24.

Задача 84. Найдите  \(5p\left( a \right) — 45a — 9\),  если  \(p\left( a \right) = 9a + 3\).

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Задача 85. Найдите  \(\frac{{p\left( b \right)}}{{p\left( {\frac{1}{b}} \right)}}\),  если  \(p\left( b \right) = \left( {b — \frac{7}{b}} \right)\left( { — 7b + \frac{1}{b}} \right)\)   при  \(b \ne 0\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 86. Найдите  \(\frac{{p\left( b \right)}}{{p\left( {\frac{1}{b}} \right)}}\),  если  \(p\left( b \right) = \left( {b — \frac{{10}}{b}} \right)\left( { — 10b + \frac{1}{b}} \right)\)   при  \(b \ne 0\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 87. Найдите  \(p\left( x \right) + p\left( {12 — x} \right)\),  если  \(p\left( x \right) = \frac{{x\left( {12 — x} \right)}}{{x — 6}}\)   при  \(x \ne 6\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 88. Найдите  \(p\left( x \right) + p\left( { — 14 — x} \right)\),  если  \(p\left( x \right) = \frac{{x\left( { — 14 — x} \right)}}{{x + 7}}\)   при  \(x \ne  — 7\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 89. Найдите   \(q\left( {b — 8} \right) — q\left( {b + 8} \right)\),   если   \(q\left( b \right) =  — 5b\)

Ответ

ОТВЕТ: 80.

Задача 90. Найдите   \(q\left( {b — 4} \right) — q\left( {b + 4} \right)\),   если   \(q\left( b \right) = 10b\)

Ответ

ОТВЕТ: -80.

Задача 91. Найдите   \(7\left( {p\left( {5x} \right) — 5p\left( {x + 4} \right)} \right)\),   если   \(p\left( x \right) = x + 3\)

Ответ

ОТВЕТ: -224.

Задача 92. Найдите   \(3\left( {p\left( {4x} \right) — 4p\left( {x — 4} \right)} \right)\),   если   \(p\left( x \right) = x + 5\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 93. Найдите   \(p\left( {x — 2} \right) + p\left( {4 — x} \right)\),   если   \(p\left( x \right) = 3x + 4\)

Ответ

ОТВЕТ: 14.

Задача 94. Найдите   \(p\left( {x — 4} \right) + p\left( {5 — x} \right)\),   если   \(p\left( x \right) = 6x — 2\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 95. Найдите   \(11p\left( {x + 2} \right) — p\left( {11x} \right)\),   если   \(p\left( x \right) = x — 3\)

Ответ

ОТВЕТ: -8.

Задача 96. Найдите   \(9p\left( {x + 1} \right) — p\left( {9x} \right)\),   если   \(p\left( x \right) = 4x + 5\)

Ответ

ОТВЕТ: 76.

Задача 97. Найдите   \(\frac{{g\left( {5 — x} \right)}}{{g\left( {5 + x} \right)}}\),   если   \(g\left( x \right) = \sqrt[3]{{x\left( {10 — x} \right)}}\)   при  \(\left| x \right| \ne 5\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 98. Найдите   \(\frac{{g\left( {4 — x} \right)}}{{g\left( {4 + x} \right)}}\),   если   \(g\left( x \right) = \sqrt[5]{{x\left( {8 — x} \right)}}\)   при  \(\left| x \right| \ne 4\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 99. Найдите   \(h\left( {4 + x} \right) + h\left( {4 — x} \right)\),   если   \(h\left( x \right) = \sqrt[7]{x} + \sqrt[7]{{x — 8}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 100. Найдите  \(h\left( {8 + x} \right) + h\left( {8 — x} \right)\),  если   \(h\left( x \right) = \sqrt[{11}]{x} + \sqrt[{11}]{{x — 16}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Задача 101. Найдите   \(\frac{{g\left( {x + 2} \right)}}{{g\left( {x + 4} \right)}}\),   если   \(g\left( x \right) = {10^x}\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,01.

Задача 102. Найдите   \(\frac{{g\left( {x + 4} \right)}}{{g\left( {x + 2} \right)}}\),   если   \(g\left( x \right) = {4^x}\)

Ответ

ОТВЕТ: 16.

Задача 103. Указать наибольшее целое число K, при котором дробь \(\frac{{6{K^2} + K — 27}}{{3K + 2}}\) является также целым числом.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 104. Указать сумму целых чисел K, при которых дробь \(\frac{{6{K^2} — 13K + 1}}{{2K — 5}}\) является также целым числом.

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Задача 105. Чему равно произведение выражений \(\sqrt {8 — t} \) и \(\sqrt {5 + t} \), если известно, что их сумма равна 5 (значение переменной t находить не нужно)?

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Задача 106. Чему равна сумма выражений \(\sqrt {25 — {t^2}} \) и \(\sqrt {15 — {t^2}} \), если известно, что их разность равна 2 (значение переменной t находить не нужно)?

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 107. Определить A, B и C так, чтобы для всех допустимых значений x имело место равенство \(\quad \frac{{3{x^2} + 9x + 7}}{{{x^3} + 5{x^2} + 8x + 4}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 2}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(A = 1,\) \(B =  — 1,\;C = 2\).

Задача 108. Определить A, B и C так, чтобы для всех допустимых значений x имело место равенство \(\quad \frac{{4{x^2} + 5}}{{{x^3} — 1}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{C}{{x — 1}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(A = 1,\;B =  — 2,\;C = 3\).