Алгебра 10-11 класс. Неравенства с модулями

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 10-11 класс. Неравенства с модулями

Задача 1. Решите неравенство \(\left| x \right| < 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 2;\;2} \right).\)

Задача 2. Решите неравенство \(\left| x \right| \leqslant — 3\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений.

Задача 3. Решите неравенство \(\left| x \right| > 4\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 4} \right) \cup \left( {4;\;\infty } \right).\)

Задача 4. Решите неравенство \(\left| x \right| \geqslant — 5\)

Ответ

ОТВЕТ: \(x \in R.\)

Задача 5. Решите неравенство \(\left| {x — 1} \right| < 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 2;\;4} \right).\)

Задача 6. Решите неравенство \(\left| {2x — 3} \right| < 7\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 2;\;5} \right).\)

Задача 7. Решите неравенство \(\left| {x + 2} \right| > 4\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 6} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Задача 8. Решите неравенство \(\left| {2x + 5} \right| \geqslant 9\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 7} \right] \cup \left[ {2;\infty } \right).\)

Задача 9. Решите неравенство \(\left| {{x^2} — 5x} \right| < 6\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 1;\;2} \right) \cup \left( {3;\;6} \right).\)

Задача 10. Решите неравенство \(\left| {2{x^2} — 9x + 15} \right| \geqslant 20\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — \frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {5;\;\infty } \right).\)

Задача 11. Решите неравенство \(\left| {\frac{{3x + 1}}{{x — 3}}} \right| < 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;\frac{4}{3}} \right).\)

Задача 12. Решите неравенство \(\left| {\frac{{x — 1}}{{x + 2}}} \right| > 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 2} \right) \cup \left( { — 2;\; — \frac{1}{2}} \right).\)

Задача 13. Решите неравенство \(\left| {x — 3} \right| \geqslant \left| {8 — x} \right|\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{{11}}{2};\;\infty } \right).\)

Задача 14. Решите неравенство \(\left| {2x — 1} \right| \leqslant \left| {4x + 1} \right|\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 1} \right] \cup \left[ {0;\;\infty } \right).\)

Задача 15. Решите неравенство \(\left| {x — 1} \right| < 2x — 4\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {3;\;\infty } \right).\)

Задача 16. Решите неравенство \(\left| {2x + 3} \right| \leqslant 4x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{3}{2};\;\infty } \right).\)

Задача 17. Решите неравенство \(\left| {3x — 6} \right| > x + 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;1} \right) \cup \left( {4;\;\infty } \right).\)

Задача 18. Решите неравенство \(\left| {3x — 7} \right| \geqslant 2x — 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;2} \right] \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\)

Задача 19. Решите неравенство \(1 \leqslant \left| {x — 2} \right| < 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 1;\;1} \right] \cup \left[ {3;\;5} \right)\)

Задача 20. Решите неравенство \(\left| {\left| x \right| — 2} \right| \leqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 3;\; — 1} \right] \cup \left[ {1;\;3} \right].\)

Задача 21. Решите неравенство \(\left| {\left| {x — 3} \right| — 2} \right| \leqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;2} \right] \cup \left[ {4;6} \right].\)

Задача 22. Решите неравенство \(\left| {\left| {2x — 1} \right| — 2} \right| > 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 2} \right) \cup \left( {3;\;\infty } \right).\)

Задача 23. Решите неравенство \(\left| {\frac{{{x^2} — 5x + 4}}{{{x^2} — 4}}} \right| \leqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;1,6} \right] \cup \left[ {2,5;\;\infty } \right).\)

Задача 24. Решите неравенство \(\left| {\frac{{{x^2} — 3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}}} \right| \geqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 2} \right) \cup \left( { — 2;\; — 1} \right) \cup \left( { — 1;\;0} \right].\)

Задача 25. Решите неравенство \(\left| {x — 6} \right| > \left| {{x^2} — 5x + 9} \right|\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\;3} \right).\)

Задача 26. Решите неравенство \(\left| {x + 7} \right| < \left| {{x^2} — 3x + 2} \right|\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 1} \right) \cup \left( {5;\;\infty } \right).\)

Задача 27. Решите неравенство \(\left| {2{x^2} — 6x + 4} \right| \leqslant x — 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ 1 \right\} \cup \left[ {1,5;\;2,5} \right].\)

Задача 28. Решите неравенство \(\left| {{x^2} — 7x + 2} \right| \geqslant 2 + 3x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right] \cup \left\{ 2 \right\} \cup \left[ {10;\;\infty } \right).\)

Задача 29. Решите неравенство \(\left| {{x^3} — 8} \right| \leqslant {x^3} + 8x + 8\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;\infty } \right).\)

Задача 30. Решите неравенство \(\left| {{x^3} — 1} \right| > 1 — x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 1} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\)

Задача 31. Решите неравенство \(\left| {\frac{{2x + 3}}{{x + 2}}} \right| < x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\sqrt 3 ;\;\infty } \right).\)

Задача 32. Решите неравенство \(\left| {\frac{{3x — 6}}{{x — 5}}} \right| > \frac{{3x — 6}}{{5 — x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;2} \right) \cup \left( {5;\;\infty } \right).\)

Задача 33. Решите неравенство \(\left| {\left| {\frac{{x — 3}}{{x + 1}}} \right| — 2} \right| < 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 3} \right) \cup \left( {0;\;1} \right).\)

Задача 34. Решите неравенство \(\left| {\left| {\frac{{x + 3}}{{2x — 1}}} \right| — 3} \right| \geqslant 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — \frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{2}{{11}};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\;\frac{8}{9}} \right] \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\)

Задача 35. Решите неравенство \(\left| {2x + 8} \right| + \left| {x — 1} \right| \geqslant 8\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 5} \right] \cup \left[ { — 1;\;\infty } \right).\)

Задача 36. Решите неравенство \(3\left| {x + 2} \right| — 4\left| {x + 1} \right| \geqslant 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — \frac{8}{7};\;0} \right].\)

Задача 37. Решите неравенство \(3\left| {x — 2} \right| + \left| {5x — 4} \right| \leqslant 10\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;\frac{5}{2}} \right].\)

Задача 38. Решите неравенство \(\left| {x — 1} \right| + \left| {2 — x} \right| > 3 + x\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right) \cup \left( {6;\;\infty } \right).\)

Задача 39. Решите неравенство \(\left| {x + 2} \right| — \left| {x — 1} \right| < x — \frac{3}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{9}{2};\;\infty } \right).\)

Задача 40. Решите неравенство \(\left| {x — 4} \right| + \left| {x + 1} \right| < 7\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 2;\;5} \right).\)

Задача 41. Решите неравенство \(\left| {x + 1} \right| + \left| {x + 3} \right| < 8\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 6;\;2} \right).\)

Задача 42. Решите неравенство \(\left| {x + 3} \right| + \left| {x — 2} \right| > 5\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 3} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Задача 43. Решите неравенство \(\left| {{x^2} + x — 2} \right| + \left| {x + 4} \right| \leqslant {x^2} + 2x + 6\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 6;\; — 1} \right] \cup \left[ {0;\;\infty } \right].\)

Задача 44. Решите неравенство \(\left| {{x^2} — 9} \right| + \left| {x + 4} \right| \geqslant 7\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 4} \right] \cup \left[ { — 2;\;\infty } \right).\)

Задача 45. Решите неравенство \(\left| {{x^2} — 4} \right| + \left| {x — 3} \right| \leqslant 5\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ { — 2} \right\} \cup \left[ {1;\;3} \right].\)

Задача 46. Решите неравенство \(\left| {{x^2} + 3x} \right| + \left| {x + 5} \right| \leqslant {x^2} + 4x + 9\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 7;\; — 2} \right] \cup \left[ { — 1;\;\infty } \right).\)

Задача 47. Решите неравенство \(\frac{{\left| {x — 2} \right|}}{{\left| {x — 1} \right| — 1}} \geqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Задача 48. Решите неравенство \(\frac{{\left| {x + 3} \right| — 1}}{{4 — 2\left| {x + 4} \right|}} \geqslant — 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 8} \right] \cup \left( { — 6;\; — 2} \right) \cup \left( { — 2;\;\infty } \right).\)

Задача 49. Решите неравенство \(\frac{3}{{\left| {x + 3} \right| — 1}} \geqslant \left| {x + 2} \right|\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 5;\; — 4} \right) \cup \left( { — 2;\;\sqrt 3 — 2} \right].\)

Задача 50. Решите неравенство \(\frac{{16\left| {x + 1} \right| — 1}}{{3\left| {x + 1} \right| + 1}} < 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{{11}}{7};\; — \frac{3}{7}} \right).\)

Задача 51. Решите неравенство \(\frac{{\left| {x — 1} \right| + 10}}{{4\left| {x — 1} \right| + 3}} > 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{3}{7};\;\frac{{11}}{7}} \right).\)

Задача 52. Решите неравенство \(\frac{1}{{\left| {x + 1} \right| — 1}} \geqslant \frac{1}{{\left| {x + 1} \right| — 2}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 3;\; — 2} \right) \cup \left( {0;\;1} \right).\)

Задача 53. Решите неравенство \(\frac{{\left| {x — 1} \right|}}{{x — 1}} + \frac{{\left| {x — 2} \right|}}{{x — 2}} \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\;2} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Задача 54. Решите неравенство \(\frac{{\left| {x — 5} \right|}}{{x — 5}} + \frac{{\left| {x — 6} \right|}}{{x — 6}} \geqslant 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {6;\;\infty } \right).\)

Задача 55. Решите неравенство \(\frac{{\left| {x — 5} \right| — \left| {x — 3} \right|}}{{\left| {x — 2} \right| + x — 2}} \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {2;\;4} \right].\)

Задача 56. Решите неравенство \(\frac{{\left| {x — 7} \right| — \left| {x — 3} \right|}}{{x — 8 — \left| {x — 8} \right|}} \geqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {5;\;8} \right).\)

Задача 57. Решите неравенство \({\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^{ — 1}} — {{\left( {x + 6} \right)}^{ — 1}}} \right)^2} \leqslant \frac{{\left| {{x^2} — 10x} \right|}}{{{{\left( {{x^2} + 7x + 6} \right)}^2}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 6} \right) \cup \left( { — 6;\;5 — 5\sqrt 2 } \right] \cup \left\{ 5 \right\} \cup \left[ {5 + 5\sqrt 2 ;\;\infty } \right).\)

Задача 58. Решите неравенство \(25{x^2} — 3\left| {3 — 5x} \right| < 30x — 9\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{3}{5}} \right) \cup \left( {\frac{3}{5};\;\frac{6}{5}} \right).\)

Задача 59. Решите неравенство \(\left| {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 2}}} \right| \geqslant \left| x \right| + \frac{2}{{\left| {x + 2} \right|}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — 2} \right) \cup \left[ {0;\;\infty } \right).\)

Задача 60. Решите неравенство \(\left| {{x^2} — 5\left| x \right| + 4} \right| \geqslant \left| {2{x^2} — 3\left| x \right| + 1} \right|\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — \frac{5}{3};\;\frac{5}{3}} \right].\)

Задача 61. Решите неравенство \(\left| {\left| {\left| {x — 3} \right| + 1} \right| — 2} \right| < 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\;3} \right) \cup \left( {3;\;5} \right).\)

Задача 62. Решите неравенство \(\left| {\left| {\left| {x — 4} \right| + 2} \right| — 3} \right| \geqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\;2} \right] \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left[ {6;\;\infty } \right).\)