Алгебра 10-11 класс. Упрощение логарифмических выражений

Задача 1. Упростите выражение \(\dfrac{{{{\log }_a}\sqrt {{a^2} — 1} \cdot \log _{\frac{1}{a}}^2\sqrt {{a^2} — 1} }}{{{{\log }_{{a^2}}}\left( {{a^2} — 1} \right) \cdot {{\log }_{\sqrt[3]{a}}}\sqrt[6]{{{a^2} — 1}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\log _a}\sqrt {{a^2} — 1} ,\) где \(a > 0,\,\,\,a \ne 1.\)

Задача 2. Упростите выражение \({a^{\frac{2}{{{{\log }_b}a}} + 1}} \cdot b — 2\, \cdot {a^{{{\log }_a}b + 1}} \cdot {b^{{{\log }_b}a + 1}} + a\, \cdot {b^{\,\frac{2}{{{{\log }_a}b}} + 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(ab{\left( {a — b} \right)^2},\) где \(a > 0,\;\,\,a \ne 1,\;\,\,b > 0,\,{\text{ }}b \ne 1.\)

Задача 3. Упростите выражение \(\dfrac{{\left( {{{25}^{\frac{1}{{2{{\log }_{49}}25}}}} + 2{{\log }_2}{{\log }_2}{{\log }_2}{a^{2{{\log }_a}4}}} \right) \cdot {4^{ — \,\frac{2}{{{{\log }_3}4}}}} \,\,- {a^2}}}{{1 — a}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(1 + a,\) где \(a > 0,\,\,\,a \ne 1.\)

Задача 4. Упростите выражение \(\dfrac{{1 — \log _a^3b}}{{\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a + 1} \right){{\log }_a}\frac{a}{b}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\log _a}b,\) где \(a > 0,\;\,\,a \ne 1,\;\,\,b > 0,{\text{ }}\,\,b \ne 1,\,\,{\text{ }}b \ne a.\)

Задача 5. Упростите выражение \({\left( {{b^{\frac{{{{\log }_{100}}a}}{{\lg a}}}} \cdot {a^{\frac{{{{\log }_{100}}b}}{{\lg b}}}}} \right)^{2{{\log }_{ab}}\left( {a + b} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(a + b,\) где \(a > 0,\;\,\,a \ne 1,\;\,\,b > 0,{\text{ }}\,\,b \ne 1,{\text{ }}\,\,ab \ne 1.\)

Задача 6. Упростите выражение \({\left( {{{\left( {\log _b^4a + \log _a^4b + 2} \right)}^{\frac{1}{2}}} + 2} \right)^{\frac{1}{2}}} — {\log _b}a — {\log _a}b\)

Ответ

ОТВЕТ: 0, если \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < a < 1,} \\ {0 < b < 1} \end{array}} \right.\) или \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 1,} \\ {b > 1} \end{array}} \right.\,;\) \( — 2\left( {{{\log }_b}a + {{\log }_a}b} \right),\) если \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 1,} \\ {0 < b < 1} \end{array}{\text{ }}\,\,} \right.\) или \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < a < 1,} \\ {b > 1.} \end{array}} \right.\)

Задача 7. Упростите выражение \({\left( {{x^{1 + \frac{1}{{2{{\log }_4}x}}}} + {8^{\frac{1}{{3{{\log }_{{x^2}}}2}}}} + 1} \right)^{\frac{1}{2}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(x + 1,\) где \(x > 0,\,\;{\text{ }}x \ne 1.\)

Задача 8. Упростите выражение \(2\log _a^{\frac{1}{2}}b\left( {{{\left( {{{\log }_a}\sqrt[4]{{ab}} + {{\log }_b}\sqrt[4]{{ab}}} \right)}^{\frac{1}{2}}} — {{\left( {{{\log }_a}\sqrt[4]{{\frac{b}{a}}} + {{\log }_b}\sqrt[4]{{\frac{a}{b}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)\) при \(a > 1\) и \(b > 1\)

Ответ

ОТВЕТ: 2, если \(1 < a \leqslant b;\) \(2{\log _a}b,\) если \(1 < b < a.\)

Задача 9. Упростите выражение \(\dfrac{{{{\left( {\lg b \cdot {2^{{{\log }_2}\lg b}}} \right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot {{\lg }^{ — \,\frac{1}{2}}}{b^2}}}{{\sqrt {\frac{{{{\lg }^2}b + 1}}{{2\lg b}} + 1} — {{10}^{0,5\lg \lg {b^{\frac{1}{2}}}}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\lg b,\) где \(b > 1.\)

Задача 10. Упростите выражение \(\sqrt {{{\log }_n}p + {{\log }_p}n + 2} \cdot \left( {{{\log }_n}p — {{\log }_{np}}p} \right) \cdot \sqrt {{{\log }_n}p} \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\log _n^2p,\) где \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < n < 1,} \\ {0 < p < 1} \end{array}} \right.\) или \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {n > 1,} \\ {p > 1.} \end{array}} \right.\)

Задача 11. Упростите выражение \(\dfrac{{1 — {{\log }_{\frac{1}{a}}}\frac{1}{{{{\left( {a — b} \right)}^2}}} + \log _a^2\left( {a — b} \right)}}{{{{\left( {1 — {{\log }_{\sqrt a }}\left( {a — b} \right) + \log _a^2\left( {a — b} \right)} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(1 — {\log _a}\left( {a — b} \right),\) если \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < a < 1,} \\ {b < 0} \end{array}\,} \right.\) или \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > {\text{1}}{\text{,}}} \\ {{\text{0}} < b < a;} \end{array}} \right.\) \({\log _a}\left( {a — b} \right) — 1,\) если \(0 < b < a < 1\) или \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 1,} \\ {b < 0.} \end{array}} \right.\)

Задача 12. Упростите выражение \(\dfrac{{{{\log }_a}b — {{\log }_{\frac{{\sqrt a }}{{{b^3}}}}}\sqrt b }}{{{{\log }_{\frac{a}{{{b^4}}}}}b — {{\log }_{\frac{a}{{{b^6}}}}}b}}:{\log _b}\left( {{a^3}{b^{ — 12}}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\log _a}b,\) где \(a > 0,\,\;a \ne 1,\;\,b > 0,{\text{ }}\,b \ne 1,\;\,a \ne {b^4}{\text{,}}\,{\text{ }}a \ne {b^6}.\)

Задача 13. Упростите выражение \({\left( {6\left( {{{\log }_b}a \cdot {{\log }_{{a^2}}}b + 1} \right) + {{\log }_a}{b^{ — 6}} + \log _a^2b} \right)^{\frac{1}{2}}} — {\log _a}b\) при \(a > 1\).

Ответ

ОТВЕТ: \(3 — 2{\log _a}b,\) если \(0 < b < {a^3},\;b \ne 1;\,\) \( — 3,\) если \(b \geqslant {a^3}.\)

Задача 14. Упростите выражение \({\log _{a + b}}m + {\log _{a — b}}m — 2{\log _{a + b}}m \cdot {\log _{a — b}}m\), если известно, что \({m^2} = {a^2} — {b^2}\).

Ответ

ОТВЕТ: 0.