Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 10-11 класс. Логарифмические уравнения повышенной сложности

Задача 1. Решите уравнение    \({\log _2}{\left( {x + 2} \right)^2} + {\log _2}{\left( {x + 10} \right)^2} = 4{\log _2}3\) 

Ответ

ОТВЕТ: \( — 11;\;\; — 1;\;\; — 6 \pm \sqrt 7 .\)

Задача 2. Решите уравнение    \({\lg ^2}\left( {8x — 9} \right) = {\lg ^2}\left( {6x — 4} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{5}{2};\;\;\frac{7}{6}.\)

Задача 3. Решите уравнение    \({2^{\log _2^2x}} + {x^{{{\log }_2}{x^2}}} = 6\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{2};\;\;2.\)

Задача 4. Решите уравнение    \({3^{\log _3^2x}} + {x^{{{\log }_3}x}} = 162\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{9};\;\;9.\)

Задача 5. Решите уравнение    \(\left| {\,{{\log }_{\sqrt 3 }}x — 2\,} \right| — \left| {\,{{\log }_3}x — 2\,} \right| = 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{9};\;\;9.\)

Задача 6. Решите уравнение    \({\log _2}{\log _3}\left( {{x^2} — 16} \right) — {\log _{\frac{1}{2}}}{\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{{{x^2} — 16}} = 2\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \;5.\)

Задача 7. Решите уравнение    \({\log _2}x \cdot {\log _3}x = {\log _3}{x^3} + {\log _2}{x^2} — 6\)

Ответ

ОТВЕТ: 8;  9.

Задача 8. Решите уравнение    \(16 — {4^{\,\,x\,\,\lg 7}} = \left| {\,6 \cdot {7^{\,x\,\,\lg 2}} — 24\,} \right|\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\log _7}10;\,\,\,\,\,{\log _7}100.\)

Задача 9. Решите уравнение    \(80{\log _{8x}}\sqrt[4]{{2x}} — 14{\log _{32x}}\left( {8{x^3}} \right) — {\log _x}\left( {2x} \right) = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{2}.\)

Задача 10. Решите уравнение    \({\log _{\sqrt 5 }}\left( {x — \sqrt {{x^2} — 5} } \right) \cdot \;{\log _5}\left( {x + \sqrt {{x^2} — 5} } \right) + 1,5 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{13\sqrt 5 }}{5}.\)

Задача 11. Решите уравнение    \(x\left( {1 — \lg 5} \right) = \lg \left( {{4^x} — 12} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 12. Решите уравнение    \(\frac{1}{4}{\log _{\sqrt {x + 1} }}9 + {\log _{3x}}3 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {21}  — 3}}{6}.\)

Задача 13. Решите уравнение    \(2{\log _3}\left( {x — 2} \right) + {\log _3}{\left( {x — 4} \right)^2} = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(3;\;\;3 + \sqrt 2 .\)

Задача 14. Решите уравнение    \(\frac{2}{{\sqrt 3 {{\log }_2}\sqrt {{x^2}} }} — \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_2}\left( { — x} \right)} }} = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( — \sqrt[3]{{16}}.\)

Задача 15. Решите уравнение    \(\sqrt {{{\log }_x}\sqrt {5x} }  =  — {\log _x}5\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{{25}}.\)

Задача 16. Решите уравнение    \(\sqrt {{{\log }_3}{x^9}}  — 4{\log _9}\sqrt {3x}  = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: 3;  81.

Задача 17. Решите уравнение    \({\log _{\sqrt 3 }}x\;\sqrt {{{\log }_{\sqrt 3 }}3 — {{\log }_x}9}  + 4 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{3}.\)

Задача 18. Решите уравнение    \(3 \cdot {2^{{{\log }_x}\left( {3x — 2} \right)}} + 2 \cdot {3^{{{\log }_x}\left( {3x — 2} \right)}} = 5 \cdot {6^{{{\log }_{{x^2}}}\left( {3x — 2} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 19. Решите уравнение    \({5^{\lg x}} — {3^{\lg x}} = 5,\left( 3 \right) \cdot {3^{0,5\lg x}} \cdot {5^{0,5\left( {\lg x — 2} \right)}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 100.

Задача 20. Решите уравнение    \(\left| {\,{{\log }_2}\left( {3x — 1} \right) — {{\log }_2}3\,} \right| = \left| {\,{{\log }_2}\left( {5 — 2x} \right) — 1} \right|\)

Ответ

ОТВЕТ: \(1;\;\;\frac{{17}}{{12}};\;\;\frac{{11}}{6}.\)

Задача 21. Решите уравнение    \({\left( {x — 4} \right)^2}{\log _4}\left( {x — 1} \right) — 2{\log _4}{\left( {x — 1} \right)^2} = {\left( {x — 4} \right)^2}{\log _{x — 1}}4 — 2{\log _{x — 1}}16\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{5}{4};\;\;5;\;\;6.\)

Задача 22. Решите уравнение    \(2{\log _{x — 2}}\sqrt 3  + {\left( {x — 4} \right)^2}{\log _3}\left( {x — 2} \right) = {\left( {x — 4} \right)^2}{\log _{x — 2}}3 + 2{\log _3}\sqrt {x — 2} \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{7}{3};\;\;5.\)

Задача 23. Решите уравнение    \(\left( {{{\log }_3}\frac{3}{x}} \right){\log _2}x — {\log _3}\frac{{{x^3}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} + {\log _2}\sqrt x \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 3 }}{8};\;\;1.\)

Задача 24. Решите уравнение \(\frac{4}{3}\log _3^2{\left( {5x — 6} \right)^3} — {\log _3}{\left( {5x — 6} \right)^3} \cdot {\log _3}{x^6} =  — 6\,\,\log _3^2\frac{1}{x}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{36}}{{25}};\;\;\frac{3}{2}.\)

Задача 25. Решите уравнение \(\frac{3}{2}\log _5^2{\left( {2x — 3} \right)^2} + 12\,\,\log _5^2\sqrt x  = {\log _5}{\left( {2x — 3} \right)^3} \cdot {\log _5}{x^3}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{9}{4};\;\;3.\)

Задача 26. Решите уравнение    \({\log _9}{\left( {{x^2} — 5x + 6} \right)^2} = \frac{1}{2}{\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x — 1}}{2} + {\log _3}\left| {\,x — 3\,} \right|\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{5}{3}.\)

Задача 27. Решите уравнение  \({\log _{\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 }}x + {\log _x}\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  — \sqrt 5 } \right) = \frac{3}{2} + {\log _x}2\sqrt 6 \)

Ответ

ОТВЕТ: \({\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 } \right)^2};\;\;\frac{1}{{\sqrt {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 } }}.\)

Текстовое решение задач:

1B 2B 3B 4B 5B 6B 7B 8B 9B 10B
11B 12B 13B 14B 15B 16B 17B 18B 19B 20B
21B 22B 23B 24B 25B 26B 27B