Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Уравнение касательной

Задача 1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции  \(y = 3{x^3} — 2x + 1\)  в точке  \({x_0} = 2\)

Ответ

ОТВЕТ: 34.

Задача 2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции  \(y = \sqrt {3x + 7} \)  в точке  \({x_0} =  — 1\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,75.

Задача 3. Определите, какой угол образует с осью Ox касательная, проведенная к графику функции  \(y = {x^2} — x + 5\)  в точке  \({x_0} = 1\). Ответ дайте в градусах

Ответ

ОТВЕТ: 45.

Задача 4. Определите, какой угол образует с осью Ox касательная, проведенная к графику функции  \(y = 3{x^2} + 5x + 2\)  в точке  \({x_0} =  — 1\). Ответ дайте в градусах

Ответ

ОТВЕТ: 135.

Задача 5. Определите, какой угол образует с осью Ox касательная, проведенная к графику функции  \(y = \sqrt 3 \sin 2x\)  в точке  \({x_0} = \frac{\pi }{6}\). Ответ дайте в градусах

Ответ

ОТВЕТ: 60.

Задача 6. Определите, какой угол образует с осью Ox касательная, проведенная к графику функции  \(y = \cos 2x\)  в точке  \({x_0} = \frac{\pi }{6}\). Ответ дайте в градусах

Ответ

ОТВЕТ: 120.

Задача 7. В какой точке касательная к графику функции  \(y = 6{x^2} — 6x + 2\)  параллельна оси Ox

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 8. В какой точке касательная к графику функции  \(y = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} — 3x + 5\)  параллельна оси Ox

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 9. Прямая \(y =  — 5x — 6\) параллельна касательной к графику функции \(y = {x^2} + 8x — 7.\) Найдите абсциссу точки касания.

Ответ

ОТВЕТ: -6,5.

Задача 10. Прямая \(y = 8x + 10\) параллельна касательной к графику функции \(y = {x^2} + 7x — 8.\) Найдите абсциссу точки касания.

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 11. Прямая \(y = x + 7\)  является касательной к графику функции \(y = {x^3} — 4{x^2} + 6x + 5\). Найдите абсциссу точки касания.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 12. Прямая \(y =  — 6x + 15\)  является касательной к графику функции \(y = {x^3} + 9{x^2} + 9x — 10\). Найдите абсциссу точки касания.

Ответ

ОТВЕТ: -5.

Задача 13. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 1;13} \right)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой \(y = 1\).

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Задача 14. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 1;12} \right)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой \(y =  — 13\).

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Задача 15. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале   \(\left( { — 1;13} \right)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(f\left( x \right)\)параллельна прямой  \(y =  — 2x — 19\)  или совпадает с ней.

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 16. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале   \(\left( { — 7;6} \right)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(f\left( x \right)\)параллельна прямой  \(y = x + 25\)  или совпадает с ней.

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 17. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику \(y = f\left( x \right)\) параллельна прямой \(y = 3x — 2\)  или совпадает с ней.

Ответ

ОТВЕТ: -6.

Задача 18. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику \(y = f\left( x \right)\) параллельна прямой \(y =  — 4x — 1\)  или совпадает с ней.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 19. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику \(y = f\left( x \right)\) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Ответ

ОТВЕТ: -3.

Задача 20. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику \(y = f\left( x \right)\) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 21. На рисунке изображены график функции \(y = f\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \({x_0}\). Найдите значение производной функции \(f\left( x \right)\) в точке \({x_0}\).

Ответ

ОТВЕТ: 1,5.

Задача 22. На рисунке изображены график функции \(y = f\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \({x_0}\). Найдите значение производной функции \(f\left( x \right)\) в точке \({x_0}\).

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.

Задача 23. На рисунке изображены график функции \(y = f\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \({x_0}\). Найдите значение производной функции \(f\left( x \right)\) в точке \({x_0}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 24. На рисунке изображены график функции \(y = f\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \({x_0}\). Найдите значение производной функции \(f\left( x \right)\) в точке \({x_0}\)

Ответ

ОТВЕТ: -0,25.

Задача 25. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке \({x_0} = 10\).

Ответ

ОТВЕТ: -0,6.

Задача 26. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите значение производной функции в точке \({x_0} = 8\).
Ответ

ОТВЕТ: 1,25.

Задача 27. Прямая  \(y =  — 3x — 8\)  является касательной к графику функции  \(y = a\;{x^2} + 27x + 7\). Найдите  a.

Ответ

ОТВЕТ: 15.

Задача 28. Прямая  \(y =  — 5x + 4\)  является касательной к графику функции  \(y = a\;{x^2} — 29x + 10\). Найдите  a.

Ответ

ОТВЕТ: 24.

Задача 29. Прямая \(y = 2x — 1\) является касательной к графику функции \(y = 16{x^2} + b\,x + 3\). Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Ответ

ОТВЕТ: -14.

Задача 30. Прямая \(y = 9x + 5\) является касательной к графику функции \(y = 18{x^2} + b\,x + 7\). Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.

Ответ

ОТВЕТ: 21.

Задача 31. Прямая  \(y = 5x — 8\)  является касательной к графику функции \(y = 4{x^2} — 15x + c\). Найдите c.

Ответ

ОТВЕТ: 17.

Задача 32. Прямая  \(y = 2x + 1\)  является касательной к графику функции \(y = 7{x^2} + 30x + c\). Найдите c.

Ответ

ОТВЕТ: 29.

Задача 33. Составьте уравнение касательной к графику функции \(\;y =  — {x^2} — 1\) в точке с абсциссой \(x = 2\).

Ответ

ОТВЕТ: \(y =  — 4x + 3.\)

Задача 34. Составьте уравнение касательной к графику функции \(\;y = 2\,{x^2} + 3\) в точке \(\,\left( {\,1;\,5} \right)\).

Ответ

ОТВЕТ: \(y = 4x + 1.\)

Задача 35. Составьте уравнение касательной к графику функции \(\;y = \frac{{2x — 1}}{{3 — 2x}}\) в точке с абсциссой \(x = \frac{1}{2}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(y = x — 0,5.\)

Задача 36. Составьте уравнение касательной к графику функции \(\;y = \frac{{x — 1}}{{x — 2}}\) в точке с абсциссой \(x = 1\).

Ответ

ОТВЕТ: \(y =  — x + 1.\)

Задача 37. Составьте уравнение касательной к графику функции \(y = \cos \left( {2x — \frac{\pi }{6}} \right)\) в точке с абсциссой \(x = \frac{\pi }{6}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(y =  — x + \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Задача 38. Составьте уравнение касательной к графику функции \(y = \frac{1}{2}\,\left( {\,{e^{\frac{x}{2}}} + {e^{ — \frac{x}{2}}}\,} \right)\;\) в точке с абсциссой \(\,x = 2\ln 2\).

Ответ

ОТВЕТ: \(y = \frac{3}{8}x + \frac{{5 — 3\ln 2}}{4}.\)

Задача 39. Составьте уравнение касательной к графику функции \(\;y =  — {x^2} — 2\), параллельную прямой \(\;y = 4\,x + 1\).

Ответ

ОТВЕТ: \(y = 4\,x + 2.\)

Задача 40. Составьте уравнение касательной к графику функции \(y = {x^2} — 4\,x + 3,\)  параллельную прямой \(\;y = 3\,x — 5\).

Ответ

ОТВЕТ: \(y = 3\,x — 9,25.\) 

Задача 41. Найдите угол между касательными, проведенными к графику функции \(y = {x^2} — 5\,x + 6\;\) в точках пересечения его с осью абсцисс.

Ответ

ОТВЕТ: \(\,{90^ \circ }.\)

Задача 42. Две касательные, проведенные к графику функции \(\;y = \frac{{2\,x + 9}}{{2\,x — 9}},\;\) параллельны прямой \(\;y = 4 — x.\) Найдите сумму абсцисс точек касания.

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Задача 43. Две касательные, проведенные к графику функции \(\;y = {x^2} + 5\,x\), образуют с осью абсцисс углы \(\alpha \) и \(\beta \), причем \(\alpha  + \beta  = {180^ \circ }\). Найдите сумму абсцисс точек касания.

Ответ

ОТВЕТ: -5.

Задача 44. Две касательные, проведенные к графику функции \(\;y = {x^2} — 5\,x + 8\), и ось абсцисс образуют правильный треугольник. Найдите сумму абсцисс точек касания.

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 45. Пусть \(\left( {\,{x_0};\,{y_0}} \right)\) – координаты ближайшей к началу координат точки графика функции \(\,y = {\text{tg}}\,\left( { — x} \right)\), где касательная имеет угловой коэффициент \(k =  — 4\). Найдите значение выражения \({x_0} + y_0^2\), если \({x_0} > 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{\pi }{3} + 3.\)

Задача 46. При каких значениях параметра a касательная, проведенная к графику функции \(\,y = 2\,x + \frac{a}{x}\,\) в точке с абсциссой \({x_0} = 1\), параллельна прямой \(y =  — 4\,x + 5\)?

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Задача 47. При каких значениях параметра a касательная, проведенная к графику функции \(\,y = \frac{{{x^2} — 3\,x + a}}{{{x^2}}}\,\) в точке с абсциссой \({x_0} = 2\), образует с осью абсцисс угол \({45^ \circ }\)?

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 48. Найдите угол между двумя касательными, проведенными из точки \(\left( {\,0;\, — 2} \right)\) к параболе \(\,y = {x^2}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi  — 2\,{\text{arctg}}\sqrt 8 .\)

Задача 49. Найдите уравнение общей касательной к параболам \(\;y = {x^2} — 5\,x + 6\) и \(y = {x^2} + x + 1\).

Ответ

ОТВЕТ: \(y =  — \frac{1}{3}x + \frac{5}{9}.\)

Задача 50. На параболе \(y = {x^2}\) взяты две точки с абсциссами \({x_1} = 1,\;\,{x_2} = 3\). Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнение секущей и этой касательной.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,2;\,4} \right);\) уравнение касательной \(\,y = 4\,x — 4;\,\) уравнение секущей \(\,y = 4\,x — 3.\)