Алгебра 10-11 класс. Исследование функций на монотонность и экстремумы
Если функция \(f\left( x \right)\) определена и непрерывна на промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет положительную производную \(\left( {f’\left( x \right) > 0} \right)\), то функция возрастает на X.
Если функция \(f\left( x \right)\) определена и непрерывна на промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет отрицательную производную \(\left( {f’\left( x \right) < 0} \right)\), то функция убывает на X.
Говорят, что функция \(y = f\left( x \right)\) имеет максимум (минимум) в точке \(x = a\), если у этой точки существует окрестность, в которой \(f\left( x \right) < f\left( a \right)\quad \left( {f\left( x \right) > f\left( a \right)} \right)\) для \(x \ne a\).
Точки максимума и минимума объединяются общим термином – точки экстремума.
Правило исследования функции \(y = f\left( x \right)\) на экстремум:
1. найти область определения функции;
2. найти \(f’\left( x \right)\);
3. найти точки, в которых выполняется равенство \(f’\left( x \right) = 0\);
4. найти точки, в которых \(f’\left( x \right)\) не существует;
5. отметить на координатной прямой все точки в которых производная равна 0 или не существует и область определения функции \(y = f\left( x \right)\); получатся промежутки области определения функции, на каждом из которых производная функции \(y = f\left( x \right)\) сохраняет постоянный знак;
6. определить знак \(f’\left( x \right)\) на каждом из промежутков;
7. если при переходе через точку производная \(f’\left( x \right)\) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума функции, а если с «-» на «+», то точкой минимума. На приведенном рисунке точка x1 является точкой максимума, а x2 точкой минимума.
| Задача 1. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 5;8} \right)\). Найдите сумму точек экстремума функции \(f\left( x \right)\).
|
 |
| Задача 2. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 3;8} \right)\). Найдите количество точек, в которых производная функции \(f\left( x \right)\) равна 0.
|
 |
| Задача 3. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 1;13} \right)\). Определите количество целых точек, в которых производная функции \(f\left( x \right)\) положительна.
|
 |
| Задача 4. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\), определенной на интервале\(\left( { — 2;12} \right)\). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
|
 |
| Задача 5. На рисунке изображён график функции \(y = f\left( x \right)\) и одиннадцать точек на оси абсцисс: \({x_1},\,{x_2},\;{x_3},\,…,{x_{11}}\). В скольких из этих точек производная функции \(f\left( x \right)\) положительна?
|
 |
| Задача 6. На рисунке изображён график функции \(y = f\left( x \right)\) и девять точек на оси абсцисс: \({x_1},\,{x_2},\;{x_3},\,…,{x_9}.\) В скольких из этих точек производная функции \(f\left( x \right)\) отрицательна?
|
 |
| Задача 7. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\) и отмечены точки \( — 2,\;\,1,\;\,3,\;\,4\). В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
|
 |
| Задача 8. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\) и отмечены точки \( — 2,\;\, — 1,\;\,3,\;\,4\). В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
|
 |
| Задача 9. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 8;10} \right)\). Найдите количество точек максимума функции \(f\left( x \right)\), принадлежащих отрезку \(\left[ { — 7;\;7} \right]\).
|
 |
| Задача 10. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 5;15} \right)\). Найдите количество точек минимума функции \(f\left( x \right)\), принадлежащих отрезку \(\left[ { — 4;\;11} \right]\).
|
 |
| Задача 11. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 4;20} \right)\). Найдите количество точек экстремума функции \(f\left( x \right)\), принадлежащих отрезку \(\left[ { — 3;\;18} \right]\).
|
 |
| Задача 12. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 3;8} \right)\). Найдите промежутки возрастания функции \(f\left( x \right)\). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
|
 |
| Задача 13. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 9;5} \right)\). Найдите промежутки убывания функции \(f\left( x \right)\). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
|
 |
| Задача 14. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 4;10} \right)\). Найдите промежутки возрастания функции \(f\left( x \right)\). В ответе укажите длину наибольшего из них.
|
 |
| Задача 15. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 1;17} \right)\). Найдите промежутки убывания функции \(f\left( x \right)\). В ответе укажите длину наибольшего из них.
|
 |
| Задача 16. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 1;12} \right)\). Найдите точку экстремума функции \(f\left( x \right)\), принадлежащую отрезку \(\left[ {0;\,10} \right]\).
|
 |
| Задача 17. На рисунке изображён график \(y = f’\left( x \right)\) производной функции \(f\left( x \right)\) и одиннадцать точек на оси абсцисс: \({x_1},\,{x_2},\;{x_3},\,…,{x_{11}}\). В скольких из этих точек функция \(f\left( x \right)\) возрастает?
|
 |
| Задача 18. На рисунке изображён график \(y = f’\left( x \right)\) производной функции \(f\left( x \right)\) и десять точек на оси абсцисс: \({x_1},\,{x_2},\;{x_3},\,…,{x_{10}}\). В скольких из этих точек функция \(f\left( x \right)\) убывает?
|
 |
| Задача 19. Найдите промежуток убывания функции \(y = 2{x^3} + 3{x^2} — 2\). В ответ запишите его длину
|
| Задача 20. Найдите промежуток возрастания функции \(y = — \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} — 3x + 2\). В ответ запишите его длину
|
| Задача 21. Найдите промежуток убывания функции \(y = 2x — 5\ln x\). В ответ запишите его длину
|
| Задача 22. Найдите промежуток убывания функции \(y = x + \sqrt {3 — x} \). В ответ запишите его длину
|
| Задача 23. Найдите точку максимума функции \(y = {x^3} + 12{x^2} + 36x\)
|
| Задача 24. Найдите точку минимума функции \(y = 13 + 48x — {x^3}\)
|
| Задача 25. Найдите точку максимума функции \(y = \frac{{{x^3}}}{3} — 4x + 11\)
|
| Задача 26. Найдите точку максимума функции \(y = 5 + 9x — \frac{{{x^3}}}{3}\)
|
| Задача 27. Найдите точку минимума функции \(y = {x^{\frac{3}{2}}} — 15x + 16\)
|
| Задача 28. Найдите точку максимума функции \(y = — \frac{1}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 11x + 25\)
|
| Задача 29. Найдите точку минимума функции \(y = \frac{4}{3}x\sqrt x — 10x\)
|
| Задача 30. Найдите точку максимума функции \(y = — \frac{2}{3}x\sqrt x + 12x + 6\)
|
| Задача 31. Найдите точку максимума функции \(y = — \frac{{{x^2} + 81}}{x}\)
|
| Задача 32. Найдите точку минимума функции \(y = — \frac{{{x^2} + 576}}{x}\)
|
| Задача 33. Найдите точку максимума функции \(y = \frac{{98}}{x} + 2x + 15\)
|
| Задача 34. Найдите точку минимума функции \(y = \frac{{400}}{x} + x + 7\)
|
| Задача 35. Найдите точку максимума функции \(y = — \frac{x}{{{x^2} + 324}}\)
|
| Задача 36. Найдите точку минимума функции \(y = — \frac{x}{{{x^2} + 100}}\)
|
| Задача 37. Найдите точку максимума функции \(y = {\left( {x + 9} \right)^2}\left( {x — 2} \right) — 3\)
|
| Задача 38. Найдите точку минимума функции \(y = {\left( {x — 5} \right)^2}\left( {x + 3} \right) — 2\)
|
| Задача 39. Найдите точку максимума функции \(y = \sqrt { — 79 — 18x — {x^2}} \)
|
| Задача 40. Найдите точку минимума функции \(y = \sqrt {{x^2} — 16x + 98} \)
|
| Задача 41. Найдите точку минимума функции \(y = \left( {x + 18} \right){e^{x — 18}}\)
|
| Задача 42. Найдите точку максимума функции \(y = \left( {4 — x} \right){e^{x + 4}}\)
|
| Задача 43. Найдите точку минимума функции \(y = \left( {20 — x} \right){e^{20 — x}}\)
|
| Задача 44. Найдите точку максимума функции \(y = \left( {x + 14} \right){e^{14 — x}}\)
|
| Задача 45. Найдите точку минимума функции \(y = \left( {2{x^2} — 24x + 24} \right){e^{x — 24}}\)
|
| Задача 46. Найдите точку максимума функции \(y = \left( {2{x^2} — 12x + 12} \right){e^{x + 12}}\)
|
| Задача 47. Найдите точку минимума функции \(y = \left( {3{x^2} — 15x + 15} \right){e^{7 — x}}\)
|
| Задача 48. Найдите точку максимума функции \(y = \left( {{x^2} — 17x + 17} \right){e^{3 — x}}\)
|
| Задача 49. Найдите точку максимума функции \(y = {\left( {x — 6} \right)^2}{e^{x — 5}}\)
|
| Задача 50. Найдите точку минимума функции \(y = {\left( {x — 7} \right)^2}{e^{x — 6}}\)
|
| Задача 51. Найдите точку максимума функции \(y = {\left( {x + 3} \right)^2}{e^{2 — x}}\)
|
| Задача 52. Найдите точку минимума функции \(y = {\left( {x + 8} \right)^2}{e^{ — x — 8}}\)
|
| Задача 53. Найдите точку максимума функции \(y = {2^{5 — 8x — {x^2}}}\)
|
| Задача 54. Найдите точку минимума функции \(y = {8^{{x^2} — 30x + 235}}\)
|
| Задача 55. Найдите точку максимума функции \(y = \ln \left( {x — 5} \right) — 4x + 9\)
|
| Задача 56. Найдите точку минимума функции \(y = 2x — \ln \left( {x + 4} \right) + 12\)
|
| Задача 57. Найдите точку максимума функции \(y = \ln {\left( {x + 5} \right)^9} — 9x + 2\)
|
| Задача 58. Найдите точку минимума функции \(y = 11x — \ln {\left( {x + 12} \right)^{11}} + 1\)
|
| Задача 59. Найдите точку максимума функции \(y = {x^2} — 26x + 60\ln x — 4\)
|
| Задача 60. Найдите точку минимума функции \(y = 0,5{x^2} — 17x + 72\ln x + 3\)
|
| Задача 61. Найдите точку максимума функции \(y = {\log _8}\left( { — 40 — 14x — {x^2}} \right) + 3\)
|
| Задача 62. Найдите точку минимума функции \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) — 12\)
|
| Задача 63. Найдите точку максимума функции \(y = \left( {4x — 6} \right)\cos x — 4\sin x + 8\) принадлежащую интервалу \(\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\)
|
| Задача 64. Найдите точку минимума функции \(y = \left( {1 — 2x} \right)\cos x + 2\sin x + 11\) принадлежащую интервалу \(\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\)
|
| Задача 65. Найдите количество целых значений x, принадлежащих интервалу убывания функции \(\;f\,\left( {\,x\,} \right) = 4{x^3} — 18{x^2} — 21x — 9\).
|
| Задача 66. Найдите точку, в которой выполняется необходимое условие существования экстремума функции \(\;y = 3{x^4} — 4{x^3}\), но экстремума нет.
|
| Задача 67. Найдите число точек экстремума функции \(\;y = {\left( {\,x — 1\,} \right)^2}{\left( {\,x — 2\,} \right)^2}\).
|
| Задача 68. Производная функции \(f\,\left( {\,x\,} \right)\) имеет вид \(f’\left( {\,x\,} \right) = {x^2}\left( {\,{x^2} — 1\,} \right)\,\left( {\,7 — {x^2}\,} \right)\). Найдите число промежутков возрастания функции.
|
| Задача 69. Производная функции \(f\,\left( {\,x\,} \right)\) имеет вид \(f’\left( {\,x\,} \right) = \left( {{x^2} — 1} \right)\,\left( {\,{x^2} — 9\,} \right)\,\left( {\,{x^2} — 16\,} \right)\). Найдите суммарную длину промежутков убывания функции \(f\,\left( {\,x\,} \right)\).
|
| Задача 70. Найдите количество целых значений x, принадлежащих промежутку возрастания функции \(\;f\,\left( {\,x\,} \right) = 5 + 243x — 4{x^3}\).
|
| Задача 71. Найдите наименьшее целое значение параметра a, при котором функция \(\;y = \frac{{a — 3}}{3}{x^3} — a\,{x^2} + \left( {\,3a — 6\,} \right)\,x\) возрастает на всей числовой оси.
|
| Задача 72. Найдите наибольшее целое значение параметра a, при котором функция \(\;y = \frac{{a + 4}}{3}{x^3} — a\,{x^2} + 2x\,\left( {\,a — 3\,} \right)\) убывает на всей числовой оси.
|