Алгебра 10-11 класс. Нахождение наибольших и наименьших значений функции
Если функция \(f\left( x \right)\) определена и непрерывна на промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет положительную производную \(\left( {f’\left( x \right) > 0} \right)\), то функция возрастает на X.
Если функция \(f\left( x \right)\) определена и непрерывна на промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет отрицательную производную \(\left( {f’\left( x \right) < 0} \right)\), то функция убывает на X.
Говорят, что функция \(y = f\left( x \right)\) имеет максимум (минимум) в точке \(x = a\), если у этой точки существует окрестность, в которой \(f\left( x \right) < f\left( a \right)\quad \left( {f\left( x \right) > f\left( a \right)} \right)\) для \(x \ne a\).
Точки максимума и минимума объединяются общим термином – точки экстремума.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции \(y = f\left( x \right)\) на отрезке :
1. найти \(f’\left( x \right)\);
2. найти точки, в которых \(f’\left( x \right) = 0\) или \(f’\left( x \right)\) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;
3. вычислить значение функции \(y = f\left( x \right)\) в точках, полученных в пункте 2, и на концах отрезка (в точках a и b) и далее выбрать из них наибольшее и наименьшее, которые будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции \(y = f\left( x \right)\) на отрезке . Эти значения обозначаются \({y_{наим}},\;{y_{наиб}}\).
| Задача 1. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 9;3} \right)\). В какой точке отрезка \(\left[ { — 8;\; — 2} \right]\) \(f\left( x \right)\) принимает наибольшее значение?
|
 |
| Задача 2. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 10;3} \right)\). В какой точке отрезка \(\left[ { — 5;\;2} \right]\) \(f\left( x \right)\) принимает наименьшее значение?
|
 |
| Задача 3. Найдите наименьшее значение функции \(y = {x^3} + 6{x^2} + 9x + 8\) на отрезке \(\left[ { — 2;\,0} \right]\)
|
|
| Задача 4. Найдите наибольшее значение функции \(y = 3{x^2} — {x^3} + 86\) на отрезке \(\left[ { — 0,5;\,6} \right]\)
|
|
| Задача 5. Найдите наименьшее значение функции \(y = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} — 3x + 5\) на отрезке \(\left[ {0;\,18} \right]\)
|
|
| Задача 6. Найдите наибольшее значение функции \(y = — \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 3x\) на отрезке \(\left[ {4;\,19} \right]\)
|
|
| Задача 7. Найдите наименьшее значение функции \(y = \frac{1}{3}x\sqrt x — 12x + 90\) на отрезке \(\left[ {3;\,583} \right]\)
|
|
| Задача 8. Найдите наибольшее значение функции \(y = 2 + 3x — 4x\sqrt x \) на отрезке \(\left[ {0;\,9,25} \right]\)
|
|
| Задача 9. Найдите наименьшее значение функции \(y = \frac{{{x^2} + 100}}{x}\) на отрезке \(\left[ {4;\,21} \right]\)
|
|
| Задача 10. Найдите наибольшее значение функции \(y = \frac{{{x^2} + 9}}{x}\) на отрезке \(\left[ { — 11;\, — 1} \right]\)
|
|
| Задача 11. Найдите наименьшее значение функции \(y = 2x + \frac{{800}}{x} + 11\) на отрезке \(\left[ {0,5;\,30} \right]\)
|
|
| Задача 12. Найдите наибольшее значение функции \(y = x + \frac{{121}}{x} + 18\) на отрезке \(\left[ { — 22;\, — 0,5} \right]\)
|
|
| Задача 13. Найдите наименьшее значение функции \(y = {\left( {x — 3} \right)^2}\left( {x — 6} \right) — 1\) на отрезке \(\left[ {4;\,6} \right]\)
|
|
| Задача 14. Найдите наибольшее значение функции \(y = {\left( {x + 9} \right)^2}\left( {x — 5} \right) + 6\) на отрезке \(\left[ { — 14;\, — 2} \right]\)
|
|
| Задача 15. Найдите наибольшее значение функции \(y = {x^5} + 5{x^3} — 140x\) на отрезке \(\left[ { — 10;\,1} \right]\)
|
|
| Задача 16. Найдите наибольшее значение функции \(y = 3{x^5} — 20{x^3} + 17\) на отрезке \(\left[ { — 9;\,1} \right]\)
|
|
| Задача 17. Найдите наименьшее значение функции \(y = \sqrt {{x^2} — 8x + 80} \)
|
| Задача 18. Найдите наибольшее значение функции \(y = \sqrt {160 + 6x — {x^2}} \)
|
| Задача 19. Найдите наименьшее значение функции \(y = \left( {3 — x} \right){e^{4 — x}}\) на отрезке \(\left[ {0,5;\,9} \right]\)
|
| Задача 20. Найдите наибольшее значение функции \(y = \left( {22 — x} \right){e^{x — 21}}\) на отрезке \(\left[ {16;\,25} \right]\)
|
| Задача 21. Найдите наименьшее значение функции \(y = \left( {2{x^2} — 28x + 28} \right){e^{x — 12}}\) на отрезке \(\left[ {9;\,23} \right]\)
|
| Задача 22. Найдите наибольшее значение функции \(y = \left( {3{x^2} + 42x — 42} \right){e^{x + 16}}\) на отрезке \(\left[ { — 57;\, — 7} \right]\)
|
| Задача 23. Найдите наименьшее значение функции \(y = {\left( {x — 2} \right)^2}{e^{x — 2}}\) на отрезке \(\left[ {1;\,4} \right]\)
|
| Задача 24. Найдите наибольшее значение функции \(y = {\left( {x — 4} \right)^2}{e^{x — 2}}\) на отрезке \(\left[ {1;\,3} \right]\)
|
| Задача 25. Найдите наименьшее значение функции \(y = {7^{{x^2} + 18x + 82}}\)
|
| Задача 26. Найдите наибольшее значение функции \(y = {8^{ — 14 + 8x — {x^2}}}\)
|
| Задача 27. Найдите наименьшее значение функции \(y = {e^{2x}} — 3{e^x} + 2\) на отрезке \(\left[ {0;\,3} \right]\)
|
| Задача 28. Найдите наименьшее значение функции \(y = {e^{2x}} — 14{e^x} + 5\) на отрезке \(\left[ { — 1;\,2} \right]\)
|
| Задача 29. Найдите наименьшее значение функции \(y = 5x — 5\ln \left( {x + 7} \right) + 11\) на отрезке \(\left[ { — 6,5;\, — 4} \right]\)
|
| Задача 30. Найдите наибольшее значение функции \(y = 3\ln \left( {x + 2} \right) — 3x + 10\) на отрезке \(\left[ { — 1,5;\,0} \right]\)
|
| Задача 31. Найдите наименьшее значение функции \(y = 5x — \ln \left( {5x} \right) + 12\) на отрезке \(\left[ {\frac{1}{{10}};\,\frac{1}{2}} \right]\)
|
| Задача 32. Найдите наибольшее значение функции \(y = \ln \left( {12x} \right) — 12x + 2\) на отрезке \(\left[ {\frac{1}{{24}};\,\frac{5}{{24}}} \right]\)
|
| Задача 33. Найдите наименьшее значение функции \(y = {x^2} — 3x + \ln x + 3\) на отрезке \(\left[ {\frac{3}{4};\,\frac{5}{4}} \right]\)
|
| Задача 34. Найдите наибольшее значение функции \(y = 2{x^2} — 12x + 8\ln x + 12\) на отрезке \(\left[ {\frac{{12}}{{13}};\,\frac{{14}}{{13}}} \right]\)
|
| Задача 35. Найдите наименьшее значение функции \(y = 3 + \frac{{2\sqrt 3 \pi }}{3} — 2\sqrt 3 x — 4\cos x\) на отрезке \(\left[ {0;\,\frac{\pi }{2}} \right]\)
|
| Задача 36. Найдите наибольшее значение функции \(y = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\cos x + \frac{{10\sqrt 3 }}{3}x — \frac{{5\sqrt 3 \pi }}{9} + 10\) на отрезке \(\left[ {0;\,\frac{\pi }{2}} \right]\)
|
| Задача 37. Найдите наименьшее значение функции \(y = 2\cos x — 16x + 9\) на отрезке \(\left[ { — \frac{{3\pi }}{2};\,0} \right]\)
|
| Задача 38. Найдите наибольшее значение функции \(y = 12x — 7\sin x + 7\) на отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{2};\,0} \right]\)
|
| Задача 39. Найдите наименьшее значение функции \(y = 2\cos x + \frac{{18}}{\pi }x + 8\) на отрезке \(\left[ { — \frac{{2\pi }}{3};\,0} \right]\)
|
| Задача 40. Найдите наибольшее значение функции \(y = 10\sin x — \frac{{36}}{\pi }x + 8\) на отрезке \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{6};\,0} \right]\)
|
| Задача 41. Найдите наименьшее значение функции \(y = 8\,{\text{tg}}\,x — 8x + 4\) на отрезке \(\left[ {0;\,\frac{\pi }{4}} \right]\)
|
| Задача 42. Найдите наибольшее значение функции \(y = 2\,{\text{tg}}\,x — 2x + 5\) на отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{4};\,0} \right]\)
|
| Задача 43. Найдите наименьшее значение функции \(y = 24\,{\text{tg}}\,x — 24x — 6\pi + 4\) на отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{4}} \right]\)
|
| Задача 44. Найдите наибольшее значение функции \(y = 16\,{\text{tg}}\,x — 16x + 4\pi — 7\) на отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{4}} \right]\)
|
| Задача 45. Найдите наименьшее значение функции \(y = 2\,{\text{tg}}\,x — 4x + \pi — 9\) на отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\,\frac{\pi }{3}} \right]\)
|
| Задача 46. Найдите наибольшее значение функции \(y = 6x — 3\,{\text{tg}}\,x — 1,5\pi + 2\) на отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\,\frac{\pi }{3}} \right]\)
|
| Задача 47. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции \(y = {2^{3x + 1}} — 9 \cdot {2^{2x}} + 12 \cdot {2^x}\) на отрезке \(\;\left[ {\,1;\,2\,} \right]\).
|
| Задача 48. Пусть m и M – значения функции \(\;f\,\left( {\,x\,} \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\;\)в точках минимума и максимума соответственно. Найдите значение выражения \(\;2\,m — M\).
|