| Задача 1. Сумма двух целых чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.
|
| Задача 2. Произведение двух положительных чисел равно 121. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение.
|
| Задача 3. Периметр прямоугольника равен 100 см. Найдите его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь.
|
| Задача 4. Участок прямоугольной формы необходимо огородить забором длиной 300 м. Какими должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
|
| Задача 5. Число 27 представлено в виде суммы трёх положительных слагаемых. Первое в два раза больше второго. Какими должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим?
|
| Задача 6. Число 24 представлено в виде суммы трёх положительных слагаемых. Два слагаемых равны между собой. Какими должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим?
|
| Задача 7. Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 108 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдёт наименьшее количество материала?
|
| Задача 8. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объём 125 м3. При каких размерах на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала?
|
| Задача 9. Найти число, которое превышало бы свой квадрат на максимальное значение.
|
| Задача 10. Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины – по 50 см. Найти размер ее большего основания, при котором площадь трапеции была бы наибольшей.
|
| Задача 11. Найти длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник со сторонами 18, 24, 30 см и имеющего с ним общий прямой угол.
|
| Задача 12. В круг с каким радиусом можно вписать прямоугольник наибольшей площади с периметром, равным 56 см?
Ответ
ОТВЕТ: \(R = 7\sqrt 2 \) см.
|
| Задача 13. Представьте число 48 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба одного из них и квадрата другого была наименьшей.
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{{16}}{3}\) и \(\frac{{128}}{3}.\)
|
| Задача 14. Автомобиль едет из пункта A в пункт C. От пункта A до пункта B, расположенного между A и C, он едет со скоростью 48 км/ч. В пункте B он уменьшает свою скорость на а км/ч \(\left( {\,0 < a < 48\,} \right)\) и с этой скоростью едет 1/3 часть пути от B до C. Оставшуюся часть пути от B до C он едет со скоростью, которая на 2а км/ч превышает первоначальную скорость 48 км/ч. При каком значении a автомобиль быстрее всего проделает путь от B до C?
|
| Задача 15. Лодка находится в точке Q озера, отстоящей от ближайшей точки A на берегу на 6 км. Лодочник должен попасть в точку B, находящуюся на берегу на расстоянии 11 км от A. Скорость лодки 3 км/ч, скорость ходьбы лодочника по берегу 5 км/ч. Лодочник подсчитал, что если он сперва доплывет до точки C, которая находится между A и B, а затем сразу же пешком направится в точку B, то на путь от Q до B он потратит наименьшее время. Найдите расстояние от A до C, считая, что лодка движется прямолинейно и берег озера – прямая линия.
|
| Задача 16. Через точку \(N\,\left( {\,2;\,4\,} \right)\) проведена прямая; отрезок ее с отрезками осей координат \(\left( {\,x > 0;\;y > 0\,} \right)\) образует прямоугольный треугольник. Чему должна быть равна длина наибольшего катета, чтобы площадь треугольника была наименьшей?
|
| Задача 17. Какие размеры нужно придать радиусу основания и высоте открытого цилиндрического бака, чтобы при данном объеме V на его изготовление пошло наименьшее количество листового металла?
Ответ
ОТВЕТ: Радиус основания и высота бака равны \(\sqrt[{\text{3}}]{{\,\frac{V}{\pi }}}.\)
|
| Задача 18. В конус с высотой H и радиусом основания R вписан цилиндр так, что одно его основание лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Какой должна быть высота цилиндра, чтобы его объем был наибольшим? Найти это наибольшее значение объема.
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{H}{3},\;\;\frac{{4\,\pi \,{R^2}H}}{{27}}.\)
|
| Задача 19. В шар вписан цилиндр наибольшего объема. Во сколько раз объем шара больше объема этого цилиндра?
Ответ
ОТВЕТ: В \(\sqrt {\text{3}} \) раз.
|
| Задача 20. Владлен является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 6t единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 8t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владлен платит рабочему 300 рублей. Владлен готов выделять 1 920 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
|
| Задача 21. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
|
| Задача 22. Строительство нового завода стоит 140 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны \(0,4{x^2} + x + 5\) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит \(p\,x — \left( {0,4{x^2} + x + 5} \right)\). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 4 года?
|
| Задача 23. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года \(t\;\;\left( {t = 1,\;2,\;3…} \right)\). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в \(1 + r\) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{{43}}{{441}};\frac{{41}}{{400}}} \right)\).
|
| Задача 24. Строительство нового завода стоит 159 млн. рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны \(0,5{x^2} + 2x + 6\) млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит \(p\,x — \left( {0,5{x^2} + 2x + 6} \right)\). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. Цена продукции в первый год 10 тыс. рублей, а каждый следующий год увеличивается на 1 тыс. рублей. Через сколько лет окупится строительство завода?
|