Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Системы рациональных уравнений

Задача 1. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{6}{{x — y}} — \frac{8}{{x + y}} =  — 2} \\   {\frac{9}{{x — y}} + \frac{{10}}{{x + y}} = 8\;\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{5}{2};\, — \frac{1}{2}} \right).\)
Задача 2. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{4}{{x — y}} + \frac{{12}}{{x + y}} = 3\;} \\   {\frac{8}{{x — y}} — \frac{{18}}{{x + y}} =  — 1} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {5;\,1} \right).\)
Задача 3. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {5\left( {x + y} \right) + 2xy =  — 19} \\   {x + 3xy + y =  — 35\quad \;{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {4;\, — 3} \right),\) \(\left( { — 3;\,4} \right).\)
Задача 4. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {4\left( {x — y} \right) — 3xy =  — 14{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \\   {7x + 4xy — 7y = 31\quad } \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {3;\,2} \right),\;\left( { — 2;\, — 3} \right).\)
Задача 5. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2x + 3y = 10} \\   {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\quad {\kern 1pt} } \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {2;\,2} \right).\)
Задача 6. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3x — 2y = 15\;{\kern 1pt} } \\   {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 = 0} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {3;\, — 3} \right).\)
Задача 7. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} + {y^2} + xy = 7} \\   {x + y + xy = 5\;\;\;} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\,2} \right),\;\left( {2;\,1} \right).\)
Задача 8. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} + {y^2} — xy = 3} \\   {x + y — xy = 1\quad } \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\, — 1} \right),\;\left( { — 1;\,1} \right),\,\,\left( {1;\,2} \right),\;\left( {2;\,1} \right).\)
Задача 9. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} — y = 0\,\,\,\,\,} \\   {{x^2} + {y^2} = 5y} \end{array}} \right.\) 

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,0;\,0} \right),\;\left( {\,2;\,4} \right),\) \(\left( {\, — 2;\,4} \right)\).
Задача 10. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {xy — 3y + x = 3} \\   {{x^2} + {y^2} = 10\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {3;\,1} \right),\;\left( {3;\, — 1} \right),\,\,\left( { — 3;\, — 1} \right).\)
Задача 11. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {2{x^2} — xy — 3{y^2} = 0\,\,\,} \\   {{x^2} — 3xy + 2{y^2} =  — 1} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,3;\,2} \right),\;\left( {\, — 3;\, — 2} \right)\).
Задача 12. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} — 3xy + 2{y^2} = 3\,\,\,} \\   {2{x^2} — 2xy — {y^2} =  — 6} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,1;\,2} \right),\;\left( {\, — 1;\, — 2} \right)\).
Задача 13. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^4} + {x^2}{y^2} + {y^4} = 91} \\   {{x^2} — xy + {y^2} = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,1;\,3} \right),\;\left( {\,3;\,1} \right),\;\left( {\, — 1;\, — 3} \right),\;\left( {\, — 3;\, — 1} \right)\).
Задача 14. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {\left( {{x^3} + 1} \right)\,\left( {{y^3} + 1} \right) = 18} \\   {xy + x + y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,1;\,2} \right),\;\left( {\,2;\,1} \right)\).
Задача 15. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} + xy + {y^2} = 3} \\   {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^5} + {y^5}}} = \frac{7}{{31}}\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\, — 1;\,2} \right),\;\left( {\,2;\, — 1} \right),\left( { — \,2;\,1} \right),\left( {\,1;\, — 2} \right).\)
Задача 16. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{x — y}}{{x + y}} + \frac{{x + y}}{{x — y}} = \frac{{26}}{5}} \\   {{x^2} — {y^2} = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,3;\, — 2} \right),\;\left( {\, — 3;\,2} \right),\;\left( {\,3;\,2} \right),\;\left( {\, — 3;\, — 2} \right)\).

Задача 17. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {\left( {x — y} \right)\,\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 65} \\   {\left( {x + y} \right)\,\left( {{x^2} — {y^2}} \right) = 5\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,3;\, — 2} \right),\;\left( {2; — 3} \right)\).
Задача 18. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} — y + 2{y^2} = 29\;} \\   {{y^2} — 0,5y + x = 15{\kern 1pt} } \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\,4} \right),\;\left( {1;\, — \frac{7}{2}} \right).\)
Задача 19. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {xy = x + y\,\,\,\,\,} \\   {xz = 2\,\left( {x + z} \right)} \\   {yz = 3\,\left( {y + z} \right)} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,\frac{{12}}{7};\,\frac{{12}}{5};\, — 12} \right),\;\left( {\,0;\,0;\,0} \right)\).
Задача 20. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {x\,\left( {x + y + z} \right) = 20\,\,\,\,} \\   {x + yz = 17\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {\left( {x + y} \right)\,\left( {x + z} \right) = 35} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,2;\,3;\,5} \right),\;\left( {\,2;\,5;\,3} \right)\).
Задача 21. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y + z = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {x\,y + x\,z + y\,z = 11} \\   {x\,y\,z = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,1;\,2;\,3} \right),\,\left( {\,1;\,3;\,2} \right),\;\left( {\,2;\,1;\,3} \right),\;\left( {\,2;\,3;\,1} \right),\;\left( {\,3;\,1;\,2} \right),\;\left( {\,3;\,2;\,1} \right)\).
Задача 22. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y + z = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {x + 2y + 3z = 5\,\,\,\,} \\   {{x^2} + {y^2} + {z^2} = 14} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,\frac{{11}}{3};\, — \frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right),\;\left( {\,2;\,3;\, — 1} \right)\).
Задача 23. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{x + y}}{{x\,y\,z}} = \frac{7}{{12}}\,} \\   {\frac{{y + z}}{{x\,y\,z}} = \frac{5}{{12}}\,} \\   {\frac{{z + x}}{{x\,y\,z}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,3;\,4;\,1} \right),\) \(\left( {\, — 3;\, — 4;\, — 1} \right)\).
Задача 24. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{1}{x} + \frac{1}{{y + z}} = \frac{6}{5}} \\   {\frac{1}{y} + \frac{1}{{x + z}} = \frac{3}{4}} \\   {\frac{1}{z} + \frac{1}{{x + y}} = \frac{2}{3}} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,1;\,2;\,3} \right)\).