Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Системы показательных и логарифмических уравнений

Задача 1. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\log }_y}x + {{\log }_x}y = 2} \\   {{x^2} — y = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {5;\,5} \right).\)

Задача 2. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{10}^{1 + \lg \left( {x + y} \right)}} = 50\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {\lg \left( {x — y} \right) + \lg \left( {x + y} \right) = 2 — \lg 5} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {4,5;\,0,5} \right).\)

Задача 3. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{3^{2x}} — {2^y} = 725} \\   {{3^x} — {2^{\frac{y}{2}}} = 25\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {3;\,2} \right).\)

Задача 4. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{2^{\frac{{x — y}}{2}}} + {2^{\frac{{y — x}}{2}}} = 2,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;} \\   {\lg \left( {2x — y} \right) + 1 = \lg \left( {y + 2x} \right) + \lg 6} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {4;\,2} \right).\)

Задача 5. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{2x — y}} + 7 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{{2x — y}}{2}}} — 6 = 0\,\,\,\,\,\,} \\   {\lg \left( {3x — y} \right) + \lg \left( {x + y} \right) — 4\lg 2 = 0} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {2;\,2} \right).\)

Задача 6. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\log }_x}y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {{{\log }_{x + 1}}\left( {y + 23} \right) = 3} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {2;\,4} \right).\)

Задача 7. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\lg \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 1 + \lg 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {\lg \left( {x + y} \right) — \lg \left( {x — y} \right) = \lg 3} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {8;\,4} \right).\)

Задача 8. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{3^{ — x}} \cdot {2^y} = 1152\,\,\,\,} \\   {{{\log }_{\sqrt 5 }}\left( {x + y} \right) = 2} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 2;\,7} \right).\)

Задача 9. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\log }_5}x + {3^{{{\log }_3}y}} = 7} \\   {{x^y} = {5^{12}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\) 

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {625;\,3} \right),\;\left( {125;\,4} \right).\)

Задача 10. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sqrt[x]{{x + 2y}} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {\left( {2x + 4y} \right)\,{3^x} = 72} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {2;\,1} \right).\)

Задача 11. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^{{{\log }_8}y}} + {y^{{{\log }_8}x}} = 4\,} \\   {{{\log }_4}x — {{\log }_4}y = 1} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{2};\,\frac{1}{8}} \right),\;\left( {8;\,2} \right).\)

Задача 12. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2}y + 2y — {y^2} — 2xy = 0} \\   {{{\log }_x}y + 2\,\,{{\log }_y}x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {2;\,2} \right).\)

Задача 13 Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {20\, \cdot {x^{{{\log }_3}y}} + 7\, \cdot {y^{{{\log }_3}x}} = 81\sqrt[3]{3}} \\   {x\,y = 9\,\sqrt[3]{9}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {9;\,\sqrt[3]{9}} \right),\;\;\;\left( {\sqrt[3]{9};\,9} \right).\)

Задача 14. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{4^{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}} = 32\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {{{\log }_3}\left( {x — y} \right) = 1 — {{\log }_3}\left( {x + y} \right)} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {2;\,1} \right).\)

Задача 15. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^y} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {{{\left( {2x} \right)}^{{y^2}}} = 64;\quad x > 0} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\sqrt 2 ;\,\,2} \right),\;\;\;\left( {\frac{{\sqrt[3]{4}}}{2};\, — 3} \right).\)

Задача 16. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\left( {\,x + y\,} \right)}^x} = {{\left( {\,x — y\,} \right)}^y}} \\   {{{\log }_2}x — {{\log }_2}y = 1\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,\frac{2}{9};\,\frac{1}{9}} \right).\)

Задача 17. Решите систему уравнений    \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {y\, \cdot {x^{{{\log }_y}x}} = {x^{\frac{5}{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {{{\log }_4}y \cdot {{\log }_y}\left( {y — 3x} \right) = 1} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,4;\,16} \right).\)