Алгебра 10-11 класс. Системы тригонометрических уравнений

Задача 1. Решите систему уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x\,\sin y = \dfrac{1}{4}} \\ {\cos x\,\cos y = \dfrac{3}{4}} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \dfrac{\pi }{6} + \pi \left( {n + k} \right), — \dfrac{\pi }{6} + \pi \left( {n — k} \right)} \right),\;\;\left( {\dfrac{\pi }{6} + \pi \left( {n + k} \right),\dfrac{\pi }{6} + \pi \left( {n — k} \right)} \right),\,\,n,k \in Z.\)

Задача 2. Решите систему уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x\,\cos y = \dfrac{1}{4}} \\ {\cos \,x\,\sin \,y = \dfrac{3}{4}} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{\pi }{6} + \pi \left( {n + k} \right),\dfrac{\pi }{3} + \pi \left( {n — k} \right)} \right)\,,\;\,\left( { — \dfrac{\pi }{6} + \pi \left( {n + k} \right),\dfrac{{2\pi }}{3} + \pi \left( {n — k} \right)} \right),\,\,n,k \in Z.\)

Задача 3. Решите систему уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y — x = \dfrac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\ {\cos \,\,\left( {\,\pi \,x} \right)\,\,\cos \,\left( {\,\pi \,y} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {n,\;\dfrac{1}{4} + n} \right),\,\,\,\left( { — \dfrac{1}{4} + n,\;n} \right),\,\,\,n \in Z.\)

Задача 4. Решите систему уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \,\,\left( {x — y} \right) = \dfrac{1}{2}\,\,\,} \\ {\cos \,\,\left( {x + y} \right) = — \dfrac{1}{2}} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + {\rm{\pi }}\left( {n + k} \right),\;\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{\pi }}\left( {n-k} \right)} \right),\,\,\,\left( {\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{\pi }}\left( {n + k} \right),\,\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + {\rm{\pi }}\left( {n-k} \right)} \right),\,\)

\(\left( {-\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + {\rm{\pi }}\left( {n + k} \right),\;-\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{\pi }}\left( {n-k} \right)} \right),\,\,\,\left( {-\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{\pi }}\left( {n + k} \right),\,-\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + {\rm{\pi }}\left( {n-k} \right)} \right),\,\,\,\,n,k \in Z.\)

Задача 5. Решите систему уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = \dfrac{{3\pi }}{4}\,\,\,\,\,\,\,} \\ {{\text{tg}}\,\,x — {\text{tg}}\,\,y = 2} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{{5\pi }}{{12}} — \pi \,n,\;\dfrac{\pi }{3} + \pi \,n} \right),\;\,\left( {\dfrac{\pi }{{12}} — \pi \,n,\;\dfrac{{2\pi }}{3} + \pi \,n} \right),\,\,\,n \in Z.\)

Задача 6. Решите систему уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x + \cos y = 1} \\ {x + y = \dfrac{\pi }{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {{{\left( { — 1} \right)}^n}\arcsin \sqrt {2 — \sqrt 3 } — \dfrac{\pi }{{12}} + \pi \,n,\;\dfrac{{5\pi }}{{12}} — {{\left( { — 1} \right)}^n}\arcsin \sqrt {2 — \sqrt 3 } — \pi \,n} \right),\,\,\,n \in Z.\)

Задача 7. Решите систему уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = \dfrac{{2\pi }}{3}} \\ {\dfrac{{\sin x}}{{\sin y}} = 2\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{\pi }{{\text{2}}} + \pi \,n,\;\,\dfrac{\pi }{6} — \pi \,n} \right),\,\,\,n \in Z.\)

Задача 8. Решите систему уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{tg}}\,x + {\text{tg}}\,y = 2\,\,} \\ {\cos x\,\cos y = \dfrac{1}{2}} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{\pi }{4} + \pi \,n,\;\dfrac{\pi }{4} + \pi \left( {2k — n} \right)} \right),\,\,\,n,k \in Z.\)

Задача 9. Решите систему уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x + \cos y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}y = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,} \\ {0 < x < \pi ,\quad 0 < y < \pi } \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{\pi }{6},\;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right),\;\,\left( {\dfrac{{5\pi }}{6},\;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right).\)

Задача 10. Решите систему уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}y = \frac{{11}}{{16}}\,\,\,\,\,\,\,} \\ {\sin \dfrac{{x + y}}{2}\,\cos \dfrac{{x — y}}{2} = \dfrac{5}{8}} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {{{\left( { — 1} \right)}^n}\dfrac{\pi }{6} + \pi \,n,\;{{\left( { — 1} \right)}^k}\arcsin \dfrac{3}{4} + \pi \,k} \right),\,\,\,\,n,k \in Z.\)

Задача 11. Решите систему уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{9^{2\,{\text{tg}}\,x + \cos y}} = 3\,\,\,\,\,\,\,} \\ {{9^{\cos y}} — {{81}^{{\text{tg}}\,x}} = 2} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\pi \,n,\; \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi \,k} \right),\,\,\,\,n,k \in Z.\)

Задача 12. Решите систему уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x + \sin y = \sin \,\left( {x + y} \right)} \\ {\left| {\,x\,} \right| + \left| {\,y\,} \right| = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{1}{2},\; — \dfrac{1}{2}} \right);\;\,\left( { — \dfrac{1}{2},\;\dfrac{1}{2}} \right);\;\,\left( {1,\;0} \right);\;\,\left( { — 1,\;0} \right);\,\,\,\left( {0,\;1} \right);\;\,\left( {0,\; — 1} \right).\)