Алгебра 10-11 класс. Нестандартные уравнения и неравенства

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 10-11 класс. Нестандартные уравнения и неравенства

Не всякое уравнение \(f\,\left( {\,x\,} \right) = g\,\left( {\,x\,} \right)\) в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать некоторые свойства функций \(f\,\left( {\,x\,} \right),\;\;g\,\left( {\,x\,} \right)\). Так, если одна функция убывает, а другая возрастает на промежутке X, то уравнение \(f\,\left( {\,x\,} \right) = g\,\left( {\,x\,} \right)\) либо имеет один корень (рис. 16) и тогда можно найти его хотя бы подбором, либо не имеет корней (рис. 17). Например, для решения уравнения \(\,\sqrt {\,15 — 3x}  = x + 1\,\) нет надобности возводить обе части уравнения в квадрат. Достаточно заметить, что \(x = 2\) – корень уравнения и других корней нет, поскольку левая часть уравнения – убывающая, а правая – возрастающая функция. Аналогично обстоит дело при решении неравенства \(\,\sqrt {\,2x + 10}  \leqslant 7 — x.\,\) Здесь при \(x = 3\) левая и правая части равны, но поскольку левая часть – возрастающая, а правая – убывающая функция, то неравенству удовлетворяют значения x, которые меньше или равны 3. С учетом области определения получаем ответ: \(\, — 5 \leqslant x \leqslant 3\).

Если функция \(f\,\left( {\,x\,} \right)\) на промежутке X ограничена сверху, причем \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in X}  = A\), функция \(g\,\left( {\,x\,} \right)\) ограничена снизу, причем \(\;\mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{x \in X}  = A\), то уравнение \(f\,\left( {\,x\,} \right) = g\,\left( {\,x\,} \right)\) равносильно системе уравнений \(\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}}  {f\,\left( {\,x\,} \right) = A,} \\   {g\,\left( {\,x\,} \right) = A.} \end{array}} \right.\)

Иногда для решения уравнения \(f\,\left( {\,x\,} \right) = g\,\left( {\,x\,} \right)\) полезно построить графики функций \(y = f\,\left( {\,x\,} \right),\;\;y = g\,\left( {\,x\,} \right)\) и определить абсциссы точек их пересечения.

Пример 1. Решить уравнение \(\;{\log _3}x = 4 — x\).

Решение. Подбором находим, что заданное уравнение имеет корень \(x = 3\). Так как в области определения уравнения, т.е. на интервале \(\,\left( {\,0;\, + \infty } \right)\), логарифмическая функция \(y = {\log _3}x\) возрастает (основание \(3 > 1\)), а функция \(y = 4 — x\) убывает (прямая с отрицательным угловым коэффициентом), то других корней уравнение не имеет. Следовательно, \(x = 3\) – единственный корень уравнения.

Пример 2. Решить уравнение \(\;{\log _3}\,\left( {\,5 + \sqrt {\,x} \,} \right) = {\log _4}x\).

Решение. Положим \(\,t = {\log _4}x\). Тогда \(\,x = {4^t},\;\;\sqrt {\,x}  = {2^t}\), и заданное уравнение можно переписать в виде \({\log _3}\,\left( {\,5 + {2^t}\,} \right) = t\), откуда получаем показательное уравнение \(\;{3^t} = {2^t} + 5\). Это уравнение имеет очевидный корень \(t = 2\), но утверждать, как в предыдущем примере, что это единственный корень уравнения, нельзя, ибо как левая, так и правая часть уравнения – возрастающая функция. Но если обе части уравнения разделить на \(\,{2^t}\), то получим:

\({\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} = 1 + 5 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}\).

Теперь левая часть уравнения, т.е. показательная функция \(\,y = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t}\), возрастает (основание \(\frac{3}{2} > 1\,\)), а правая часть уравнения, т.е. показательная функция \(y = 1 + 5 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}\), убывает (основание \(\frac{1}{2} < 1\,\)). Значит, \(t = 2\) – единственный корень уравнения.

Поскольку \(\,t = {\log _4}x\), то из уравнения \(\,{\log _4}x = 2\,\) находим \(\,x = 16\) – единственный корень заданного уравнения.

Пример 3. Решить уравнение \(\;2\cos \frac{x}{3} = {5^x} + {5^{ — x}}\).

Решение. Положим \({5^x} = t\). Тогда правая часть исходного уравнения примет вид \(t + \frac{1}{t}\). Воспользуемся тем, что \(t + \frac{1}{t} \geqslant 2\), если \(t > 0\) (так как \(\frac{{{{\left( {\,t — 1\,} \right)}^2}}}{t} \geqslant 0\) при \(t > 0\), то \(\frac{{{t^2} — 2t + 1}}{t} \geqslant 0\quad  \Leftrightarrow \quad t + \frac{1}{t} \geqslant 2\)). В то же время справедливо неравенство \(2\cos \frac{x}{3} \leqslant 2\). Значит, исходное уравнение сводится к системе уравнений

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\,{5^x} + {5^{ — x}} = 2,} \\   {2\cos \frac{x}{3} = 2.} \end{array}} \right.\)

Решая первое уравнение системы с помощью подстановки \({5^x} = t,\quad t > 0\), находим \(x = 0\). Поскольку это значение удовлетворяет и второму уравнению системы, то \(x = 0\) – решение системы, а тем самым и корень исходного уравнения.

Пример 4. Решить уравнение \(\;\cos \,x + 4\sin \,\frac{x}{2} = 6 — \sin \,10x\).

Решение. Так как \(\cos x \leqslant 1,\;\;\sin \frac{x}{2} \leqslant 1\), то \(\cos x + 4\sin \frac{x}{2} \leqslant 5\). Более того, \(\cos x + 4\sin \frac{x}{2} < 5\). В самом деле, рассмотрим уравнение \(\cos x + 4\sin \frac{x}{2} = 5\). Такое равенство может иметь место тогда и только тогда, когда \(\cos x = 1\) и \(\sin \frac{x}{2} = 1\), что невозможно, ибо \(\cos x = 1\) при \(x = 2\pi \,n\), а при этих значениях имеем:

\(\sin \frac{x}{2} = \sin \frac{{2\pi \,n}}{2} = \sin \pi \,n = 0\).

Следовательно, \(\cos x + 4\sin \frac{x}{2} < 5\). В то же время правая часть исходного уравнения удовлетворяет неравенству \(6 — \sin 10x \geqslant 5\) (поскольку \( — 1 \leqslant \sin 10x \leqslant 1\)). Таким образом, можно сделать вывод, что исходное уравнение не имеет решения.

Пример 5. Решить уравнение \({\cos ^7}x + {\sin ^4}x = 1\).

Решение. Поскольку \({\cos ^7}x \leqslant {\cos ^2}x\) и \({\sin ^4}x \leqslant {\sin ^2}x\), то левая часть данного уравнения не превосходит единицы и равна единице только в случае, когда в обоих написанных нестрогих неравенствах имеет место равенство, т.е. выполняется система уравнений

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\,{{\cos }^7}x = {{\cos }^2}x,} \\   {{{\sin }^4}x = {{\sin }^2}x.} \end{array}} \right.\)

Первое уравнение системы выполняется при \(\cos x = 0\) и при \(\cos x = 1\). При этих значениях x второе уравнение также выполняется: если \(\cos x = 0\), то \(\sin x =  \pm 1\), а \({\sin ^2}x = 1\), а если \(\cos x = 1\), то \(\sin x = 0\). Поэтому решениями системы, а вместе с ней и решениями исходного уравнения, будут \(x = \frac{\pi }{2} + \pi \,n\) и \(x = 2\pi \,n,\quad n \in Z\).

Пример 6. Решить уравнение \(\;5{x^2} + 5{y^2} + 8xy + 2x — 2y + 2 = 0\).

Решение. Имеем

\(5{x^2} + 5{y^2} + 8xy + 2x — 2y + 2 = 4{x^2} + 8xy + 4{y^2} + {x^2} + 2x + 1 + {y^2} — 2y + 1 = \)

\( = 4\,{\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y — 1} \right)^2}\).

Значит, заданное уравнение можно переписать в виде

\(4\,{\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y — 1} \right)^2} = 0\).

Но сумма трех неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Значит, \(y =  — x,\quad x =  — 1,\quad y = 1\). Так как пара чисел \(x =  — 1\) и \(y = 1\) удовлетворяет условию \(y =  — x\), то она является решением исходного уравнения.

Пример 7. Решить неравенство \(\;{2^x} \geqslant 6 — x\).

Решение. Здесь при \(x = 2\) левая и правая части равны. Так как в области определения уравнения, т.е. при \(x \in R\), показательная функция \(y = {2^x}\) возрастает (основание \(2 > 1\)), а функция \(y = 6 -x\) убывает (прямая с отрицательным угловым коэффициентом), то неравенству удовлетворяют значения x, которые больше или равны 2 (рис. 18). Следовательно, решение данного неравенства имеет вид:  \(\,x \in \left[ {\,2;\, + \infty } \right)\)

Пример 8. Решить неравенство \(\;{2^{ — \left| {\,x — 2\,} \right|}} \cdot {\log _2}\left( {4x — {x^2} — 2} \right) \geqslant 1\).

Решение. Поскольку \({\log _2}\left( {4x — {x^2} — 2} \right) = {\log _2}\left( {2 — {{\left( {x — 2} \right)}^2}} \right) \leqslant 1\) и \({2^{ — \left| {\,x — 2\,} \right|}} \leqslant 1\), то левая часть данного неравенства не превосходит единицы и равна единице только в случае, когда в обоих написанных нестрогих неравенствах имеет место равенство, т.е. выполняется система уравнений

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\,{{\log }_2}\left( {2 — {{\left( {x — 2} \right)}^2}} \right) = 1,} \\   {{2^{ — \left| {\,x — 2\,} \right|}} = 1.} \end{array}} \right.\)

Из первого уравнения системы находим \(x = 2\). Поскольку это значение удовлетворяет и второму уравнению системы, то \(x = 2\) – решение системы, а тем самым и решение исходного неравенства.

Задачи для самостоятельного решения