Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 7-9 класс. Квадратичная функция

Задача 1. Постройте график функции  \(y =  — 2{x^2} + 4x — 3\).  Укажите наибольшее значение этой функции.

Ответ

ОТВЕТ: -1.

Задача 2. Постройте график функции  \(y = \frac{1}{2}{x^2} + 2x + 4\).  Укажите наименьшее значение этой функции.

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 3. Постройте график функции  \(y =  — {x^2} — 4x\).  При каких значениях x функция принимает значения, меньшие 0.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 4} \right) \cup \left( {0;\,\infty } \right).\) 

Задача 4. Постройте график функции  \(y = {x^2} — 2x\).  При каких значениях x функция принимает значения, большие 0.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)

Задача 5. Постройте график функции  \(y = \frac{1}{4}{x^2} — 2x + 1\).  Какова ее область значений.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 3;\infty } \right).\)

Задача 6. Постройте график функции  \(y =  — \frac{1}{3}{x^2} + 2x — 1\).  Какова ее область значений.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;2} \right].\)

Задача 7. Постройте график функции  \(y = {x^2} — 2x — 3\).  Какие значения принимает функция, если  \(0 \leqslant x \leqslant 4\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 4;5} \right].\)

Задача 8. Постройте график функции  \(y =  — {x^2} + 4x — 3\).  Какие значения принимает функция, если  \(0 \leqslant x \leqslant 3\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 3;1} \right].\)

Задача 9. Постройте график функции  \(y =  — \frac{1}{2}{x^2} + 3\).  Найдите координаты точек пересечения графика с осью x.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\sqrt 6 ;0} \right),\;\;\left( { — \sqrt 6 ;0} \right).\)

Задача 10. Постройте график функции  \(y = 2{x^2} — 6\).  Найдите координаты точек пересечения графика с осью x.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right),\;\;\left( { — \sqrt 3 ;0} \right).\)

Задача 11. Постройте график функции  \(y =  — {x^2} — 6x — 5\).  Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

Ответ

ОТВЕТ: Возрастает \(\left( { — \infty ; — 3} \right]\) и убывает \(\left[ { — 3;\infty } \right).\)

Задача 12. Постройте график функции  \(y = {x^2} — 4x + 3\).  Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

Ответ

ОТВЕТ: Убывает \(\left( { — \infty ;2} \right]\) и возрастает \(\;\left[ {2;\infty } \right).\)

Задача 13. Постройте график функции  \(y = \frac{{{x^3} — x}}{{x — 1}}\).  При каких значениях x значения функции положительны.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 1} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\)

Задача 14. Постройте график функции  \(y = \frac{{4x — {x^3}}}{{x + 2}}\).  При каких значениях x значения функции отрицательны.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 2} \right) \cup \left( { — 2;0} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\)

Задача 15. Постройте график функции  \(y = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x — 2} \right)\left( {x — 3} \right)}}{{2 — x}}\).  При каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком данной функции одну общую точку?

Ответ

ОТВЕТ: 3; 4.

Задача 16. Постройте график функции  \(y = \frac{{\left( {x — 1} \right)\left( {x — 2} \right)\left( {x — 3} \right)}}{{2 — x}}\).  При каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком данной функции одну общую точку?

Ответ

ОТВЕТ: ни при каких.

Задача 17. Постройте график функции  \(y = \frac{{\left( {{x^2} + 7x + 12} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}}{{{x^2} + 6x + 8}}\).  При каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком данной функции одну общую точку?

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 18. Постройте график функции  \(y = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\left( {{x^2} — 3x + 2} \right)}}{{{x^2} — x — 2}}\).  При каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком данной функции одну общую точку?

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 19. Найдите значения b, при которых парабола  \(y = 2{x^2} + b\,x + 18\)  касается оси x. Для каждого значения b определите координаты точки касания.

Ответ

ОТВЕТ: \(b = 12,\;\;\left( { — 3;0} \right);\;\;b =  — 12,\;\;\left( {3;0} \right).\)

Задача 20. Найдите значения b, при которых парабола  \(y = 2{x^2} — b\,x + 2\)  касается оси x. Для каждого значения b определите координаты точки касания.

Ответ

ОТВЕТ: \(b =  — 4,\;\;\left( { — 1;0} \right);\;\;b = 4,\;\;\left( {1;0} \right).\)

Задача 21. Известно, что парабола  \(y = a\,{x^2}\)  проходит через точку  \(B\left( { — 1;\;\frac{1}{4}} \right)\). Определите, в каких точках она пересекает прямую  \(y = 9\).

Ответ

ОТВЕТ: \(y = \frac{1}{4}x{}^2;\;\;\left( {6;9} \right),\;\;\left( { — 6;9} \right).\)

Задача 22. Известно, что парабола  \(y = a\,{x^2}\)  проходит через точку  \(A\left( {1;\; — \frac{1}{3}} \right)\). Определите, в каких точках она пересекает прямую  \(y =  — 27\).

Ответ

ОТВЕТ: \(y =  — \frac{1}{3}x{}^2;\;\;\left( {9; — 27} \right),\;\;\left( { — 9; — 27} \right).\)

Задача 23. Парабола  \(y = 2{x^2} + c\)  пересекает ось x в точке  \(\left( { — \sqrt 3 ;\;0} \right)\).  Найдите значение c и определите, пересекает ли эта парабола прямую \(y =  — 10\).

Ответ

ОТВЕТ: — 6;  не пересекает.

Задача 24. Парабола  \(y =  — 3{x^2} + c\)  пересекает ось x в точке  \(\left( {\sqrt 2 ;\;0} \right)\).  Найдите значение c и определите, пересекает ли эта парабола прямую \(y = 5.\)

Ответ

ОТВЕТ: 6; пересекает.

Задача 25. Парабола  \(y = a\,{x^2} + c\)  с вершиной в точке    проходит через точку  . В каких точках эта парабола пересекает ось x.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\sqrt 6 ;0} \right),\;\;\left( { — \sqrt 6 ;0} \right).\)

Задача 26. Парабола  \(y = a\,{x^2} + c\)  с вершиной в точке    проходит через точку  . В каких точках эта парабола пересекает ось x.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\sqrt {10} ;0} \right),\;\;\left( { — \sqrt {10} ;0} \right).\)

Задача 27. При каких значениях а парабола  \(y = a\,{x^2} — 2x — 3\)  пересекает ось x в двух точках и ее ветви направлены вниз?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{1}{3};0} \right).\)

Задача 28. При каких значениях а парабола  \(y = a\,{x^2} — 3x + 1\)  пересекает ось x в двух точках и ее ветви направлены вверх?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\frac{9}{4}} \right).\)

Задача 29. Парабола  \(y =  — {x^2} + p\,x + q\)  пересекает ось абсцисс в точке \(\left( { — 2;0} \right)\), а ось ординат в точке \(\left( {0;8} \right)\). Определите координаты второй точки пересечения параболы с осью абсцисс.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {4;0} \right).\)

Задача 30. Парабола  \(y =  — {x^2} + p\,x + q\)  пересекает ось абсцисс в точке \(\left( { — 1;0} \right)\), а ось ординат в точке \(\left( {0; — 5} \right)\). Определите координаты второй точки пересечения параболы с осью абсцисс.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 5;0} \right).\)

Задача 31. При каких значениях k парабола  \(y = {x^2} + x — 1\)  и прямая  \(y = k\,x — 2\)  не пересекаются?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 1;3} \right).\)

Задача 32. Найдите все значения k, при которых прямая  \(y = k\,x — 7\)  пересекает параболу  \(y = {x^2} + 2x — 3\)  в двух точках.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 2} \right) \cup \left( {6;\infty } \right).\)

Задача 33. Прямая, пересекающая ось ординат в точке \(\left( {0; — 2} \right)\), касается параболы \(y = {x^2} — 3x + 2\)  в точке расположенной во второй координатной четверти. В какой точке она пересекает ось абсцисс?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{2}{7};0} \right).\)

Задача 34. Прямая, пересекающая ось ординат в точке \(\left( {0;2} \right)\), касается параболы \(y = {x^2} + x + 3\)  в точке расположенной в первой координатной четверти. В какой точке она пересекает ось абсцисс?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{2}{3};0} \right).\)

Задача 35. Известно, что прямая, параллельная прямой  \(y = 6x\), касается параболы  \(y = {x^2}\). Вычислите координаты точки касания.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {3;9} \right).\)

Задача 36. Известно, что прямая, параллельная прямой  \(y =  — 4x\), касается параболы  \(y = {x^2} + 1\). Вычислите координаты точки касания.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 2;5} \right).\)

Задача 37. При каких значениях n парабола  \(y =  — {x^2} + \left( {n — 1} \right)x + n\)  целиком расположена ниже прямой  \(y = 1\)?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 3;1} \right).\)

Задача 38. При каких значениях n парабола  \(y = {x^2} + \left( {n + 1} \right)x + n\)  целиком расположена выше прямой  \(y =  — 4\)?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 3;5} \right).\)

Задача 39. Найдите значения p, при которых вершина параболы  \(y = {x^2} — 2p\,x + p + 2\)  расположена во второй четверти.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 1;0} \right).\)

Задача 40. Найдите значения p, при которых вершина параболы  \(y = {x^2} + 2p\,x — 2p + 3\)  расположена в четвертой четверти.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 3} \right).\)

Задача 41. Найдите значение m, при которых парабола \(y = {\left( {x — m} \right)^2} — 9\) пересекает ось абсцисс в точках, расположенных по разные стороны от начала координат.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 3;3} \right).\)

Задача 42. Найдите значение m, при которых парабола \(y = {\left( {x — m} \right)^2} — 1\) пересекает ось абсцисс в точках, расположенных по одну сторону от начала координат.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\)

Задача 43. При каких значениях p вершины парабол \(y = {x^2} — 2p\,x — 1\) и \(y =  — {x^2} + 4p\,x + p\) расположены по разные стороны от оси x?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — \frac{1}{4}} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\)

Задача 44. При каких значениях m вершины парабол \(y =  — {x^2} — 6m\,x + m\) и \(y = {x^2} — 4m\,x — 2\) расположены по одну сторону от оси x?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{1}{9};0} \right).\)

Задача 45. Парабола \(y = a\,{x^2} + b\,x + c\) проходит через точки \(K\left( {0;\;4} \right),\;L\left( {1;\; — 1} \right)\) и \(M\left( {2;\; — 4} \right)\). Найдите координаты ее вершины.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {3; — 5} \right).\)

Задача 46. Парабола \(y = a\,{x^2} + b\,x + c\) проходит через точки \(A\left( {0;\; — 5} \right),\;B\left( {3;\;10} \right)\) и \(C\left( { — 3;\; — 2} \right)\). Найдите координаты ее вершины.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 1; — 6} \right).\)

Задача 47. При каком значении p прямая \(y =  — 2x + p\) имеет с параболой \(y = {x^2} + 2x\) ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении p.

Ответ

ОТВЕТ: \( — 4;\;\;\left( { — 2;0} \right).\)

Задача 48. При каком значении p прямая \(y = x + p\) имеет с параболой\(y = {x^2} — 3x\) ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении p.

Ответ

ОТВЕТ: \( — 4;\;\;\left( {2; — 2} \right).\)

Задача 49. При каких отрицательных значениях k прямая \(y = k\,x — 4\) имеет с параболой \(y = {x^2} + 2x\) ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

Ответ

ОТВЕТ: \( — 2;\;\;\left( { — 2;0} \right).\)

Задача 50. Найдите все значения k, при каждом из которых прямая \(y = k\,x\) имеет с графиком функции \(y = {x^2} + 4\) ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

Ответ

ОТВЕТ: -4; 4.

Задача 51. Известно, что графики функций \(y = {x^2} + p\) и \(y =  — 2x — 2\) имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 1;0} \right).\)

Задача 52. Известно, что графики функций \(y =  — {x^2} + p\) и \(y =  — 4x + 5\) имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {2; — 3} \right).\)