Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 7-9 класс. Кусочные функции

Задача 1. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  { — \frac{1}{2}x + 3,\quad \;\;x \leqslant 2} \\   {x — 4,\quad \quad \quad x > 2.} \end{array}} \right.\)    Укажите промежуток, на котором функция убывает.
Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;2} \right].\)

Задача 2. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x — 1,\quad \;\;x <  — 2} \\   { — \frac{1}{2}x + 3,\;\quad x \geqslant  — 2.} \end{array}} \right.\)   Укажите промежуток, на котором функция убывает.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 2;\infty } \right).\)

Задача 3. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{x — 2}}{2}{\text{,}}\;\,\,\,\,{\text{ }}x \leqslant  — 2\quad } \\   { — 2,\;\,\,\,\,\,{\text{ }} — 2 < x < 2\;} \\   {\frac{{x — 6}}{2},\;\,\,\,{\text{ }}x \geqslant 2.\quad \,\;{\kern 1pt} } \end{array}} \right.\)    Найдите значение функции при \(x =  — 10\).

Ответ

ОТВЕТ: -6.

Задача 4. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  { — \frac{{x + 6}}{2}{\text{,}}\;\,\,\,\,\,{\text{ }}x \leqslant  — 2\quad } \\   { — 2,\;\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{ }} — 2 < x < 2\;} \\   { — \frac{{x + 2}}{2},\;\,\,\,\,{\text{ }}x \geqslant 2.\quad \,\;{\kern 1pt} } \end{array}} \right.\)   Найдите значение функции при \(x =  — 20\).

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Задача 5. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {0,25{x^2} — 1,\;\;\;\, — 2 \leqslant x \leqslant 2} \\   {2 — x,\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;x > 2\quad \quad \;{\kern 1pt} } \\   {x + 2,\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;x <  — 2.\quad \;\;} \end{array}} \right.\)   Укажите промежутки возрастания функции.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 2} \right] \cup \left[ {0;2} \right].\)

Задача 6. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2 — 2{x^2},\;\;\;\, — 1 \leqslant x \leqslant 1} \\   {x — 1,\;\;\;\,\,\,\;\;x > 1\quad \quad {\kern 1pt} } \\   { — x — 1,\;\;\,\,\;\;x <  — 1.\;\quad } \end{array}} \right.\)    Укажите промежутки возрастания функции.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 1;0} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right).\)

Задача 7. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{1}{2} — \frac{1}{2}{x^2},\;\;\;\;\left| x \right| \leqslant 1} \\   {{x^2} — 1,\;\;\,\,\,\;\;\left| x \right| > 1.} \end{array}} \right.\)    Укажите промежутки убывания функции.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 1} \right] \cup \left[ {0;1} \right].\)

Задача 8. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2{x^2} — 2,\;\;\,\,\,\,\;\;\left| x \right| \leqslant 1} \\   {1 — {x^2},\;\;\;\,\,\,\;\left| x \right| > 1.\,\;\,} \end{array}} \right.\)    Укажите промежутки возрастания функции.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 1} \right] \cup \left[ {0;1} \right].\)

Задача 9. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  { — {x^2},\;\;\,\,\,\,\; — 2 \leqslant x \leqslant 2} \\   {3x — 10,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;x > 2} \\   { — 3x — 10,\;\;\,\,\,\;x <  — 2.} \end{array}} \right.\)    При каких значениях x значения функции \(y = f\left( x \right)\) неотрицательны?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — \frac{{10}}{3}} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {\frac{{10}}{3};\infty } \right).\)

Задача 10. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2},\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\; — 2 \leqslant x \leqslant 2\,} \\   {10 — 3x,\;\;\,\,\,\,\,\,\;x > 2\;\;{\kern 1pt} } \\   {10 + 3x,\;\;\,\,\,\,\,\,\;x <  — 2.} \end{array}} \right.\)    При каких значениях x значения функции \(y = f\left( x \right)\) положительны?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{{10}}{3};0} \right) \cup \left( {0;\frac{{10}}{3}} \right).\)

Задача 11. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} — 1,\;\;\,\,\,\;x \leqslant 0\;\;\,} \\   {{{\left( {x — 1} \right)}^2},\;\;\,\,\;x > 0.} \end{array}} \right.\)     При каких значениях x выполняется неравенство \(y \geqslant 0\)?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 1} \right] \cup \left( {0;\infty } \right).\)

Задача 12. Постройте график функции  \(y = f\left( x \right)\), где  \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\left( {x + 1} \right)}^2},\;\;\,\,\,\,\;x < 0} \\   {1 — {x^2},\;\;\,\,\,\,\;x \geqslant 0.\;\;\,} \end{array}} \right.\)      При каких значениях x выполняется неравенство \(y > 0\)?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 1} \right) \cup \left( { — 1;1} \right).\)

Задача 13. Постройте график функции  \(y = f\left( x \right)\), где  \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  { — x — 3,\;\;\,\,\,\,\;x \leqslant  — 2} \\   {3 — {x^2},\;\,\,\,\,\,\,\,\;\;\left| x \right| < 2} \\   {x — 3,\;\,\,\,\,\,\,\;\,\,\,\,\;x \geqslant 2.} \end{array}} \right.\)    При каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком этой функции три общие точки?

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 14. Постройте график функции  \(y = f\left( x \right)\),  где  \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + 4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;x <  — 2} \\   {{x^2} — 2,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\left| x \right| < 2} \\   {4 — x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;x > 2.\;\;\,} \end{array}} \right.\)     При каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком этой функции три общие точки?

Ответ

ОТВЕТ: -2.

Задача 15. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left( {1 — x} \right)\left( {x + 3} \right),\;\;\,\,\,\,\,\,\,x \leqslant 1} \\   {\left( {x — 1} \right)\left( {x + 3} \right),\;\,\,\,\;\;x > 1.} \end{array}} \right.\)      При каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком этой функции две общие точки?

Ответ

ОТВЕТ: 0;  4.

Задача 16. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left( {x + 2} \right)\left( {x — 4} \right),\;\;\,\,\;\,x < 4} \\   {\left( {x + 2} \right)\left( {4 — x} \right),\;\;\;\;x \geqslant 4.} \end{array}} \right.\)      При каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком этой функции две общие точки?

Ответ

ОТВЕТ: -9;  0.

Задача 17. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  { — x\left( {x + 4} \right),\;\;\;\,x < 0} \\   {x\left( {x + 4} \right),\;\;\;\;x \geqslant 0.\;} \end{array}} \right.\)    При каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком этой функции три общие точки?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;4} \right).\)

Задача 18. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где  \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x\left( {6 — x} \right),\;\,\,\,\,\;\,x \leqslant 0} \\   {x\left( {x — 6} \right),\;\;\,\,\;x > 0.\;} \end{array}} \right.\)    При каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком этой функции три общие точки?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 9;0} \right).\)

Задача 19. При каких значениях p прямая \(y = p\) имеет две общие точки с графиком функции \(y = f\left( x \right)\),  где  \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} — 2x — 8,\;\;\,\,\;x \geqslant {\text{0}}} \\   {{x^2} + 2x — 8,\;\,{\text{  }}x < {\text{0?}}} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ { — 9} \right\} \cup \left( { — 8;\infty } \right).\)

Задача 20. При каких значениях p прямая \(y = p\) имеет две общие точки с графиком функции \(y = f\left( x \right)\), где 

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  { — {x^2} + 2x + 3,\;\,\,\;\,\,\;x \geqslant 0} \\   { — {x^2} — 2x + 3,\;{\text{ }}\,\,{\text{ }}x < 0?} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;3} \right) \cup \left\{ 4 \right\}.\)

Задача 21. При каких значениях m прямая \(y = m\) имеет две общие точки с графиком функции \(y = f\left( x \right)\), где 

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} — 4x — 1,\;\;\;\,\,\,\,\,\;x \geqslant 4} \\   { — {x^2} + 4x — 1,\;\;{\text{ }}\,\,{\text{ }}x < 4?} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: -1;  3.

Задача 22. При каких значениях m прямая \(y = m\) имеет две общие точки с графиком функции \(y = f\left( x \right)\), где

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  { — {x^2} — 2x + 1,\;\;\;\,\,\,\;x \geqslant 1} \\   {{x^2} + 2x — 5,\;\;{\text{ }}\,\,\,{\text{ }}x < 1?} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: -6;  -2.

Задача 23. При каких значениях p прямая \(y = p\) имеет две общие точки с графиком функции \(y = f\left( x \right)\), где

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + 6,\quad \,\,\,\,\,\quad x <  — 1\quad \quad \quad } \\   {{x^2} — 2x + 2,\quad \quad  — 1 \leqslant x < 2} \\   {\frac{4}{x},\quad \,\,\,\,\,\quad x \geqslant 2?\quad \quad \quad \quad } \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;1} \right) \cup \left( {2;5} \right).\)

Задача 24. При каких значениях p прямая \(y = p\) имеет три общие точки с графиком функции \(y = f\left( x \right)\), где

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{6}{x},\quad \quad x <  — 2\quad \quad \quad } \\   {\frac{{5x — 2}}{4},\quad \quad  — 2 \leqslant x \leqslant 2} \\   {{x^2} — 8x + 14,\quad \quad x > 2?} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ { — 2} \right\} \cup \left[ {0;2} \right).\)

Задача 25. Найдите все положительные значения k, при которых прямая \(y = k\,x\) пересекает в двух точках ломаную, заданную условиями:

\(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1,\quad \quad \left| x \right| \leqslant 3} \\   { — 2x — 5,\quad \quad x <  — 3} \\   {2x — 5,\quad \quad x > 3.} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{3};2} \right).\)

Задача 26. Найдите все отрицательные значения k, при которых прямая \(y = k\,x\) пересекает в двух точках ломаную, заданную условиями:

\(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2,\quad \quad \left| x \right| \leqslant 2} \\   { — 3x — 4,\quad \quad x <  — 2} \\   {3x — 4,\quad \quad x > 2.} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 3; — 1} \right).\)

Задача 27. Найдите все значения k, при которых прямая \(y = k\,x\) пересекает в трех точках ломаную, заданную условиями:

\(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1,\quad \quad \left| x \right| \leqslant 2} \\   {2x — 3,\quad \quad x > 2} \\   {2x + 5,\quad \quad x <  — 2.} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{2};2} \right).\)

Задача 28. Найдите все значения k, при которых прямая \(y = k\,x\) пересекает в трех точках ломаную, заданную условиями:

\(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2,\quad \quad \left| x \right| \leqslant 2} \\   { — 2x + 6,\quad \quad x > 2} \\   { — 2x — 2,\quad \quad x <  — 2.} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 2; — 1} \right).\)

Задача 29. Найдите все положительные значения k, при которых прямая \(y = k\,x\) пересекает в двух точках ломаную, заданную условиями:

\(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x — 2,\quad \quad x < 6} \\   {10 — x,\quad \quad x \geqslant 6.} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\frac{2}{3}} \right).\)

Задача 30. Найдите все отрицательные значения k, при которых прямая \(y = k\,x\) пересекает в двух точках ломаную, заданную условиями:

\(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x — 4,\quad \quad x \geqslant 3} \\   {2 — x,\quad \quad x < 3.} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{1}{3};0} \right).\)

Задача 31. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} — 4x + 5,\,\,\,\;\;x \geqslant 1} \\   {x + 1,\;\;\;\quad x < 1} \end{array}} \right.\)  и определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ

ОТВЕТ: 1;  2.

Задача 32. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} — 6x + 13,\quad \;\;x \geqslant 2} \\   {2,5x,\;\;\;\quad x < 2} \end{array}} \right.\)  и определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ

ОТВЕТ: 4;  5.

Задача 33. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{5}{x},\quad \;\;x \leqslant  — 1} \\   { — {x^2} + 4x,\;\;\;\quad x >  — 1} \end{array}} \right.\)  и определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 5;0} \right).\)

Задача 34. Постройте график функции \(y = f\left( x \right)\), где \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} + 4x + 4,\quad \;\;x \geqslant  — 4} \\   { — \frac{{16}}{x},\;\;\;\quad x <  — 4} \end{array}} \right.\)  и определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком одну или две общие точки.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {4;\infty } \right).\)