Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 7-9 класс. Окружность

Задача 1. Запишите уравнение окружности с центром в точке \(A\left( {2; — 3} \right)\), радиусом 4 и постройте её график.

Ответ

ОТВЕТ: \({\left( {x — 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16.\)

Задача 2. Запишите уравнение окружности с центром в точке \(A\left( { — 4;2} \right)\), радиусом 6 и постройте её график.

Ответ

ОТВЕТ: \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y — 2} \right)^2} = 36.\)

Задача 3. В одной системе координат постройте прямую  \(y = x\)  и окружность с центром в начале координат и радиусом 3. Определите координаты их точек пересечения.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }};\frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right),\;\;\left( { — \frac{3}{{\sqrt 2 }}; — \frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right).\)

Задача 4. В одной системе координат постройте прямую  \(y =  — x\)  и окружность с центром в начале координат и радиусом 3. Определите координаты их точек пересечения.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \frac{3}{{\sqrt 2 }};\frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right),\;\;\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}; — \frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right).\)

Задача 5. Окружность с центром в начале координат проходит через точку \(A\left( { — 1;3} \right).\) Проходит ли эта окружность через точку \(B\left( {\sqrt 2 ; — 2\sqrt 2 } \right)?\)

Ответ

ОТВЕТ: Проходит.

Задача 6. Окружность с центром в начале координат проходит через точку \(A\left( {3;\sqrt 7 } \right).\) Проходит ли эта окружность через точку \(B\left( { — 2,5;3} \right)?\)

Ответ

ОТВЕТ: Не проходит.

Задача 7. При каких значениях  с  окружность  \({x^2} + {y^2} = 8\)  и прямая  \(x + y = c\)  пересекаются в двух точках?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 4;4} \right).\)

Задача 8. При каких значениях  с  окружность  \({x^2} + {y^2} = 18\)  и прямая  \(x — y = c\)  не пересекаются?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 6} \right) \cup \left( {6;\infty } \right).\)

Задача 9. Прямая  \(y = 2x + b\)  касается окружности  \({x^2} + {y^2} = 5\)  в точке с положительной абсциссой. Найдите координаты точки касания.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {2; — 1} \right).\)

Задача 10. Прямая  \(y = 3x + b\)  касается окружности  \({x^2} + {y^2} = 10\)  в точке с отрицательной абсциссой. Найдите координаты точки касания.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 3;1} \right).\)

Задача 11. Постройте множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:  \(\frac{{{x^2} + {y^2} — 1}}{{{x^2} — {y^2}}} = 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: Окружность  \({x^2} + {y^2} = 1\)  без четырех точек, принадлежащих прямым \(y = x\) и \(y =  — x.\)  

Задача 12. Постройте множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:  \(\frac{{{x^2} + {y^2} — 9}}{{{y^2} — {x^2}}} = 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: Окружность  \({x^2} + {y^2} = 9\)  без четырех точек, принадлежащих прямым \(y = x\) и \(y =  — x.\)

Задача 13. Постройте график функции    \({x^2} — 2x + {y^2} = 0.\)

Ответ

ОТВЕТ:   

Задача 14. Постройте график функции    \({x^2} — 2x + {y^2} — 2y + 1 = 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: 

Задача 15. Постройте график функции    \({x^2} — 2\,\left| {\,x\,} \right| + {y^2} = 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: 

Задача 16. Постройте график функции    \({x^2} — 2\,\left| {\,x\,} \right| + {y^2} — 2\,\left| {\,y\,} \right| + 1 = 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: 

Задача 17. Постройте график функции    \(y = 4 + \sqrt {{5^2} — {{\left( {x — 4} \right)}^2}} .\)

Ответ

ОТВЕТ: 

Задача 18. Постройте график функции    \(\left| {\,y — 4\,} \right| = \sqrt {{5^2} — {{\left( {x — 4} \right)}^2}} .\)

Ответ

ОТВЕТ: 

Задача 19. Постройте график функции    \(\left| {\,\left| {\,y\,} \right| — 4\,} \right| = \sqrt {{5^2} — {{\left( {x — 4} \right)}^2}} .\)

Ответ

ОТВЕТ: 

Задача 20. Постройте график функции    \(\left| {\,\left| {\,y\,} \right| — 4\,} \right| = \sqrt {{5^2} — {{\left( {\,\left| {\,x\,} \right| — 4} \right)}^2}} .\)

Ответ

ОТВЕТ: 

Задача 21. Сколько решений имеет система   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left| {\,x + y\,} \right| = 4,\,} \\   {{x^2} + {y^2} = 9\;?} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 22. Сколько решений имеет система   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left| {\,x\,} \right| + \left| {\,y\,} \right| = 2,} \\   {{x^2} + {y^2} = 2\;?} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 23. Найдите наибольшее значение параметра b, при котором система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} — 2\,\left| {\,x\,} \right| + {y^2} = 3,} \\  {y = b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\;\) имеет ровно три различных решения.

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt 3 .\)

Задача 24. При каких значениях параметра a система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left| {\,x\,} \right| + \left| {\,y\,} \right| = 1,} \\   {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = a} \end{array}} \right.\)   имеет ровно восемь различных решений?

Ответ

ОТВЕТ: \(\,\,\left( {\,\,\frac{1}{{\sqrt 2 }};\,\,1} \right).\)

Задача 25. Укажите остаток от деления на 5 натурального числа, которое расположено на числовой оси ближе всего к наибольшему значению параметра b, при котором система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} + {y^2} = 49,} \\   {x + y = b\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\;\) имеет единственное решение.

Ответ

ОТВЕТ: \(0;\;\;{b_{\max }} = \sqrt {98} .\)

Задача 26. Множество всех значений параметра b, при котором система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {y = \sqrt {4 — {x^2}} ,} \\   {x + y = b\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}\;} \right.\) имеет ровно два различных решения, представляет собой промежуток. Укажите первую цифру после запятой в десятичном представлении числа, равного длине этого промежутка.

Ответ

ОТВЕТ: \(8;\;\;b \in \left[ {\,2;\,2\sqrt 2 } \right).\)

Задача 27. При каких значениях параметра a система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^2} + {y^2} = a,} \\   {x + y = 1\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\) имеет ровно два различных решения?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0,5;\, + \infty } \right).\)

Задача 28. Найдите радиус окружности R на плоскости, которая одновременно касается осей абсцисс и ординат и проходит через точку с координатами \(\left( {\,1;\,1} \right)\).

Ответ

ОТВЕТ: \(2 \pm \sqrt 2 .\)