Скачать задания в формате pdf.


Задания 13 ЕГЭ по математике профильного уровня 2022 год (стереометрия)

1) (28.03.2022 досрочная волна) Вне плоскости равностороннего треугольника АВС отмечена точка D, причем  \(\cos \angle DAB = \cos \angle DAC = 0,2.\)

а) Докажите, что прямые AD и ВС перпендикулярны

б) Найдите расстояние между прямыми AD и ВС, если известно, что АВ = 2.

Ответ

ОТВЕТ:  \(\frac{{\sqrt {71} }}{5}.\)


2) (28.03.2022 досрочная волна) Дана треугольная пирамида SABC. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка CH — высоты треугольника ABC.

а) Докажите, что \(A{C^2} — B{C^2} = A{S^2} — B{S^2};\)

б) Найдите объём пирамиды SABC, если  AB = 25; AC = 10; \(BC = 5\sqrt {13} ;\,\,\,\,SC = 3\sqrt {10} .\)

Ответ

ОТВЕТ:  225.


3) (28.03.2022 досрочная волна) На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB — диаметр основания. Угол между образующей и плоскостью основания равен 60°.

a) Докажите, что \(\cos \angle ASC + \cos \angle CSB = 1,5;\)

б) Найдите объём тетраэдра  SABC,  если   SC = 1   и   \(\cos \angle ASC = \frac{2}{3}.\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(\frac{{\sqrt 6 }}{{36}}.\)


4) (02.06.2022 основная волна)  Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Точка M?— середина SA, на ребре SB отмечена точка N так, что SN : NB = 1 : 2.

а) Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью CMN, если все рёбра равны 12.

Ответ

ОТВЕТ: \(15\sqrt {19} .\)


5) (02.06.2022 основная волна)  В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если SO = 9, AD = 12, BC = 10, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

Ответ

ОТВЕТ:  49,5.


6) (02.06.2022 основная волна)  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на диагонали BD1 отмечена точка N так, что BN ND1 = 1 : 2. Точка O — середина отрезка CB1.

а) Докажите, что прямая NO проходит через точку A.

б) Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD1 и CB1 и равна \(\sqrt 2 .\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(24\sqrt 3 .\)

7) (02.06.2022 основная волна)  В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены середины M и N отрезков AB и AD соответственно.

а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если \({B_1}N = 3\sqrt 5 .\)

Ответ

ОТВЕТ:  2.


8) (02.06.2022 основная волна)  В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC равными 8 и 3 соответственно. Точки М и N лежат на рёбрах SD и BC соответственно, причём SM : MD = 3 : 2, BN : NC = 1 : 2. Плоскость AMN пересекает ребро SC  в точке К.

а) Докажите, что SK : KC = 6 : 1.

а) Плоскость AMN делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

Ответ

ОТВЕТ:  146 : 239.


9) (02.06.2022 основная волна)  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на диагонали BD1 отмечена точка N, что BN : ND1 = 1 : 2. Точка О – середина отрезка CB1.

а) Докажите, что прямая проходит через точку А.

б) Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD1 и CB1 и равна \(\sqrt 6 .\)

Ответ

ОТВЕТ:  216.


10) (02.06.2022 основная волна)  В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка М – середина бокового ребра SC, точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA.

а) Плоскость α пересекает ребро SD в точке L. Докажите, что BN NC DL LS.

б) Пусть BN : NC = 1 : 2. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.

Ответ

ОТВЕТ:  5 : 13.


11) (02.06.2022 основная волна)  Точка O?— точка пересечения диагоналей грани CDD1C1 куба ABCDA1B1C1D1. Плоскость DA1C1 пересекает диагональ BD1 в точке F.

а) Докажите, что BF : FD1 = A1F : FO.

б) Точки M и N — середины ребер AB и AA1, соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью DA1C1.

Ответ

ОТВЕТ:   \(arctg\,\sqrt 2 .\)


12)  (27.06.2022 резервная волна)  Точка М – середина ребра АА1 треугольной призмы АВСА1В1С1, в основании которой лежит треугольник АВС. Плоскость α проходит через точки В и В1 перпендикулярно прямой С1М.

а) Докажите, что одна из диагоналей грани АСС1А1 равна одному из рёбер этой грани.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости α, если она делит ребро АС в отношении 1 : 5, считая от вершины А и известно, что  АС = 20,  АА1 = 32.

Ответ

ОТВЕТ:  10.


13)  (27.06.2022 резервная волна)  В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка М – середина ребра СС1. На рёбрах АВ и А1В1 взяты точки К и N так, что АК КВ В1N : NA1.

а) Докажите, что плоскость MKN перпендикулярна плоскости АА1В1.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKN, если АВ ВВ1 = 42 и ВК : КА = 41 : 1.

Ответ
ОТВЕТ:  \(638\sqrt 3 .\)