Скачать задания в формате pdf.
Задания 13 ЕГЭ по математике профильного уровня 2022 год (стереометрия)
1) (28.03.2022 досрочная волна) Вне плоскости равностороннего треугольника АВС отмечена точка D, причем \(\cos \angle DAB = \cos \angle DAC = 0,2.\)
а) Докажите, что прямые AD и ВС перпендикулярны
б) Найдите расстояние между прямыми AD и ВС, если известно, что АВ = 2.
2) (28.03.2022 досрочная волна) Дана треугольная пирамида SABC. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка CH — высоты треугольника ABC.
а) Докажите, что \(A{C^2} — B{C^2} = A{S^2} — B{S^2};\)
б) Найдите объём пирамиды SABC, если AB = 25; AC = 10; \(BC = 5\sqrt {13} ;\,\,\,\,SC = 3\sqrt {10} .\)
3) (28.03.2022 досрочная волна) На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB — диаметр основания. Угол между образующей и плоскостью основания равен 60°.
a) Докажите, что \(\cos \angle ASC + \cos \angle CSB = 1,5;\)
б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC = 1 и \(\cos \angle ASC = \frac{2}{3}.\)
4) (02.06.2022 основная волна) Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Точка M?— середина SA, на ребре SB отмечена точка N так, что SN : NB = 1 : 2.
а) Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью CMN, если все рёбра равны 12.
5) (02.06.2022 основная волна) В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если SO = 9, AD = 12, BC = 10, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
6) (02.06.2022 основная волна) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на диагонали BD1 отмечена точка N так, что BN : ND1 = 1 : 2. Точка O — середина отрезка CB1.
а) Докажите, что прямая NO проходит через точку A.
б) Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD1 и CB1 и равна \(\sqrt 2 .\)
7) (02.06.2022 основная волна) В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены середины M и N отрезков AB и AD соответственно.
а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если \({B_1}N = 3\sqrt 5 .\)
8) (02.06.2022 основная волна) В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC равными 8 и 3 соответственно. Точки М и N лежат на рёбрах SD и BC соответственно, причём SM : MD = 3 : 2, BN : NC = 1 : 2. Плоскость AMN пересекает ребро SC в точке К.
а) Докажите, что SK : KC = 6 : 1.
а) Плоскость AMN делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.
9) (02.06.2022 основная волна) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на диагонали BD1 отмечена точка N, что BN : ND1 = 1 : 2. Точка О – середина отрезка CB1.
а) Докажите, что прямая NО проходит через точку А.
б) Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD1 и CB1 и равна \(\sqrt 6 .\)
10) (02.06.2022 основная волна) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка М – середина бокового ребра SC, точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA.
а) Плоскость α пересекает ребро SD в точке L. Докажите, что BN : NC = DL : LS.
б) Пусть BN : NC = 1 : 2. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.
11) (02.06.2022 основная волна) Точка O?— точка пересечения диагоналей грани CDD1C1 куба ABCDA1B1C1D1. Плоскость DA1C1 пересекает диагональ BD1 в точке F.
а) Докажите, что BF : FD1 = A1F : FO.
б) Точки M и N — середины ребер AB и AA1, соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью DA1C1.
12) (27.06.2022 резервная волна) Точка М – середина ребра АА1 треугольной призмы АВСА1В1С1, в основании которой лежит треугольник АВС. Плоскость α проходит через точки В и В1 перпендикулярно прямой С1М.
а) Докажите, что одна из диагоналей грани АСС1А1 равна одному из рёбер этой грани.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости α, если она делит ребро АС в отношении 1 : 5, считая от вершины А и известно, что АС = 20, АА1 = 32.
13) (27.06.2022 резервная волна) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка М – середина ребра СС1. На рёбрах АВ и А1В1 взяты точки К и N так, что АК : КВ = В1N : NA1.
а) Докажите, что плоскость MKN перпендикулярна плоскости АА1В1.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKN, если АВ = ВВ1 = 42 и ВК : КА = 41 : 1.