Скачать задания в формате pdf.

Задания 13 ЕГЭ по математике профильного уровня 2022 год (планиметрия)


1) (28.03.2022 досрочная волна)
В треугольник АВС вписана окружность, которая касается АВ в точке Р. Точка М – середина стороны АВ.

а) Докажите, что \(MP = \frac{{\left| {\,BC — AC\,} \right|}}{2}.\)

б) Найдите углы треугольника АВС, если известно, что длина отрезка МР равна половине радиуса вписанной в треугольник АВС окружности, BC > AC, а отрезки МС и МА равны.

Ответ

ОТВЕТ:  \(\angle C = {90^ \circ };\,\,\angle A = arctg\frac{4}{3};\,\,\angle B = arctg\frac{3}{4}.\)


2) (28.03.2022 досрочная волна) Дана равнобедренная трапеция ABCD. На боковой стороне AB и большем основании AD взяты соответственно точки F и E так, что FE параллельно CD, а FC = ED.

а) Докажите, что \(\angle BCF = \,\angle AFE;\)

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если ED = 3 BFFE = 5 и площадь трапеции FCDE равна \(14\sqrt {35} .\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(\frac{{73\sqrt {35} }}{4}.\)


3) (28.03.2022 досрочная волна) На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что АМ : МВ = CN : NB = 1 : 2. Прямая MN касается окружности, вписанной в треугольник ABC в точке L.

a) Докажите, что ABBC= 5 AC.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если ML = 1 и LN = 3.

Ответ

ОТВЕТ:  \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\)


4) (02.06.2022 основная волна)  В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.

а) Докажите, что \(AL \cdot BC = AB \cdot AC;\)

б) Найдите  EL,  если  AC = 12,  \(tg\angle BCA = \frac{1}{4}.\)

Ответ

ОТВЕТ: 4,7.


5) (02.06.2022 основная волна)  На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что АМ = МС.

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если АВ = 7, ВС = 21, а \(\angle DAB = \,{60^ \circ }.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 3 \left( {34 — \sqrt {127} } \right)}}{{14}}.\)


6) (02.06.2022 основная волна)  На стороне острого угла с вершиной A отмечена точка B. Из точки B на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры BC и BD соответственно.

а) Докажите, что \(A{C^2} + C{D^2} = A{D^2} + D{B^2}.\)

б) Прямые AC и BD пересекаются в точке T. Найдите отношение AT : TC, если \(\cos \angle \,ABC = \frac{3}{8}.\)

Ответ

ОТВЕТ: 46 : 9.


7) (02.06.2022 основная волна)  В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АА1, ВВ1 и СС1, которые пересекаются в точке H. Через точку С1 провели прямую, параллельную ВВ1. Данная прямая пересекает АА1 в точке К.

а) Докажите, что \(AB \cdot HK = {C_1}H \cdot BC.\)

б) Найдите отношение площадей треугольников АВС и C1HK, если известно, что АВ = 5, ВС = 6,

Ответ

ОТВЕТ: 75 : 4.

8) (02.06.2022 основная волна)  Биссектриса BB1 и высота CC1 треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках М и N. Известно, что  и

а) Докажите, что CN .

б) Пусть MN и ВС пересекаются в точке D. Найти площадь треугольника BDN, если его высота ВН равна 7.

Ответ

ОТВЕТ: 49.


9) (02.06.2022 основная волна)  В квадрате ABCD точки M и N – середины сторон АВ и ВС, соответственно. Отрезки СМ и DN пересекаются в точке К.

а) Докажите, что

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВК, если \(AB = \,2\sqrt {20} .\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{10\sqrt 2 }}{3}.\)


10) (02.06.2022 основная волна)  В треугольнике ABC на стороне BC отметили точку D так, что AB = BD. Биссектриса BF пересекает AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.

a) Докажите, что АВВСАЕ : ЕК.

б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если известно, что BD : DC = 3 : 2.

Ответ

ОТВЕТ: 12 : 13.


11) (02.06.2022 основная волна)  В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Известно, что около четырехугольника AMNC можно описать окружность.

а) Докажите, что треугольник ABC  — равнобедренный.

б) На стороне отмечена точка F, такая что \(\angle AFB = \,{135^ \circ }.\) Отрезок BF пересекает отрезок MN в точке E. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AMNC, если \(\angle ABC = \,{120^ \circ }\) и \(EF = 6\sqrt 2 .\)

Ответ

ОТВЕТ: \(12\sqrt 7 .\)


12) (27.06.2022 резервная волна)  Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки I и J — центры окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD соответственно.

а) Докажите, что прямые BI и DJ параллельны.

б) Найдите IJ, если AC = 16, \(\cos \angle BDC = \,\frac{1}{9}.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{18\sqrt 5 }}{5}.\)


13) (27.06.2022 резервная волна)  Две окружности пересекаются в точках А и В. Общая касательная к этим окружностям касается их с точках С и D. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке М, центры окружностей лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ, точка В лежит между точками А и М.

а) Докажите, что CM = MD.

б) Найдите расстояние между центрами данных окружностей, если их радиусы равны 1 и 3 соответственно, а точка В является серединой отрезка АМ.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{8\sqrt 2 }}{3}.\)


14) (27.06.2022 резервная волна)  В трапеции ABCD с основанием AD диагонали пересекаются в точке O, AD = 2 BC. Через вершину A проведена прямая параллельная диагонали BD, а через вершину D проведена прямая параллельная диагонали AC, и эти прямые пересекаются в точке E.

а) Докажите, что BO : AE = 1 : 2.

б) Прямые BE и CE пересекают сторону AD в точках M и N соответственно. Найдите MN, если AD = 10.

Ответ

ОТВЕТ: 2.