Задача 12. На рисунке изображены графики функций вида \(f\left( x \right) = k\,x + b.\) которые пересекаются в точке А. Найдите ординату точки А.
ОТВЕТ: — 11.
Уравнение прямой \(y = kx + b.\)
Первая прямая проходит через точки \(\left( { — 2;1} \right)\) и \(\left( { — 1; — 3} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = — 2k + b}\\{ — 3 = — k + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(4 = — k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = — 4.\)
Тогда: \(1 = — 2 \cdot \left( { — 4} \right) + b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b = — 7\) и уравнение первой прямой имеет вид: \(y = — 4x — 7.\)
Вторая прямая проходит через точки \(\left( {4; — 2} \right)\)и \(\left( {5;1} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = 4k + b}\\{1 = 5k + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе:
\( — 3 = — k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = 3\)
Тогда: \( — 2 = 4 \cdot 3 + b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b = — 14\) и уравнение второй прямой имеет вид: \(y = 3x — 14.\)
Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = — 4x — 7}\\{y = 3x — 14}\end{array}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\, — 4x — 7 = 3x — 14\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,7x = 7\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = — 4 — 7 = — 11.\)
Следовательно, ордината точки пересечения \(y = — 11\).
Ответ: – 11.