Задача 12. На рисунке изображены графики функций вида \(f\left( x \right) = k\,x + b.\) которые пересекаются в точке  А.  Найдите ординату точки А.

Ответ

ОТВЕТ: — 11.

Решение

Уравнение прямой \(y = kx + b.\)

Первая прямая проходит через точки \(\left( { — 2;1} \right)\) и \(\left( { — 1; — 3} \right)\). Следовательно: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 =  — 2k + b}\\{ — 3 =  — k + b}\end{array}} \right.\)

Вычтем из первого уравнения второе:  \(4 =  — k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k =  — 4.\)

Тогда: \(1 =  — 2 \cdot \left( { — 4} \right) + b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b =  — 7\)  и уравнение первой прямой имеет вид: \(y =  — 4x — 7.\)

Вторая прямая проходит через точки \(\left( {4; — 2} \right)\)и \(\left( {5;1} \right)\). Следовательно:  

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = 4k + b}\\{1 = 5k + b}\end{array}} \right.\)

Вычтем из первого уравнения второе:

\( — 3 =  — k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = 3\)

Тогда: \( — 2 = 4 \cdot 3 + b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b =  — 14\)  и уравнение второй прямой имеет вид: \(y = 3x — 14.\)

Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y =  — 4x — 7}\\{y = 3x — 14}\end{array}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\, — 4x — 7 = 3x — 14\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,7x = 7\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y =  — 4 — 7 =  — 11.\)

Следовательно, ордината точки пересечения \(y =  — 11\).

Ответ: – 11.