Задача 9. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
ОТВЕТ: — 5.
Уравнение прямой \(y = kx + b.\)
Первая прямая проходит через точки \(\left( { — 2;1} \right)\) и \(\left( { — 3; — 3} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = — 2k + b}\\{ — 3 = — 3k + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(4 = k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = 4.\)
Тогда: \(1 = — 2 \cdot 4 + b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b = 9\) и уравнение первой прямой имеет вид: \(y = 4x + 9.\)
Вторая прямая проходит через точки \(\left( {3;1} \right)\)и \(\left( {1; — 2} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = 3k + b}\\{ — 2 = k + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(3 = 2k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = \frac{3}{2}.\)
Тогда: \(1 = 3 \cdot \frac{3}{2} + b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b = — \frac{7}{2}\) и уравнение второй прямой имеет вид: \(y = \frac{3}{2}x — \frac{7}{2}.\)
Чтобы найти точку пересечения прямых необходимо, решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 4x + 9}\\{y = \frac{3}{2}x — \frac{7}{2}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,4x + 9 = \frac{3}{2}x — \frac{7}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{5}{2}x = — \frac{{25}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = — 5.} \right.\)
Следовательно, абсцисса точки пересечения \(x = — 5\).
Ответ: – 5.